Chủ đề này có 2 trả lời

[quangtohe]

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq xy$.Tìm max $M= \frac{1}{5x^{2}+7y^{2}}+\frac{1}{5y^{2}+7x^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 23-03-2016 - 22:59

[royal1534]

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq xy$.Tìm max $M= \frac{1}{5x^{2}+7y^{2}}+\frac{1}{5y^{2}+7x^{2}}$

 

Ta có $2\sqrt{xy}\leq  x+y \leq xy$

$\Rightarrow 2 \leq \sqrt{xy}$

$\Rightarrow xy \geq 4 $

$\Rightarrow x^2+y^2 \geq 2xy=8$

Áp dụng bđt AM-GM ta có: 

$M=\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{5y^2+7x^2}=\frac{12(x^2+y^2)}{35(x^4+y^4)+74x^2y^2}=\frac{12(x^2+y^2)}{35(x^2+y^2)^2+4(xy)^2}$

$=\frac{12}{34(x^2+y^2)+(x^2+y^2+\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2})} \leq \frac{12}{34(x^2+y^2)+4xy}$$ \leq \frac{12}{34.8+4.4}=\frac{1}{24}$

Vậy $MaxM=\frac{1}{24} \leftrightarrow x=y=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 24-03-2016 - 22:52

[quangtohe]

anh ơi sai 1 chỗ rồi kìa cực trị xảy ra khi $x= y= 2$ mà!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtohe: 24-03-2016 - 22:57