Bài 6 : Cho $\bigtriangleup ABC$ có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại P.
a) Cho biết $\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{NC^{2}}=\frac{1}{16}$. Tính độ dài đoạn BC.
b) Chứng minh $\frac{BP}{AC}=\frac{CP}{AB}$
c) Chứng minh BC, ON và AP đồng quy.
Không ai làm bài hình à ! thôi thì mình làm vậy :
Bài 6 :
a) Gọi I là giao điểm của ON và BC
NB, NC là 2 tiếp tuyến $\Rightarrow$ NB = NC và NO là tia phân giác $\widehat{BNC}$
$\Rightarrow \bigtriangleup BCN$ cân tại N có ON là tia phân giác $\Rightarrow$ ON là đường trung trực ứng với BC
$\Rightarrow$ BI = CI = $\frac{BC}{2}$ và $BI \perp ON$
$\bigtriangleup OBN$ vuông tại B có BI là đường cao :
$\Rightarrow \frac{1}{BI^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{NB^{2}}$ $\Rightarrow \frac{1}{BI^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{NC^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{BI^{2}}=\frac{1}{16}\Rightarrow BI=4$ $\Rightarrow BC=2BI=8$
b) Xét $\bigtriangleup NBP$ và $\bigtriangleup NMB$, có :
$\left.\begin{matrix} & &\widehat{BNP} : chung \\ & &\widehat{NBP}=\widehat{BMN} \end{matrix}\right\}\Rightarrow \bigtriangleup NBP\sim \bigtriangleup NMB(g-g)$
$\Rightarrow \frac{BP}{MB}=\frac{NB}{NM}$
Tương tự, ta có : $\bigtriangleup NCP\sim \bigtriangleup NMC(g-g)\Rightarrow \frac{CP}{MC}=\frac{NC}{MN}$
mà NB = NC (cmt) $\Rightarrow \frac{BP}{MB}=\frac{CP}{MC}$ (1)
Ta có : AM // BC (gt) $\Rightarrow$ Tứ giác AMCB là hình thang mà tứ giác AMCB nội tiếp đường tròn (O)
$\Rightarrow$ Tứ giác AMCB là hình thang cân. $\Rightarrow MB=AC;MC=AB$ (2)
$(1),(2)\Rightarrow \frac{BP}{AC}=\frac{CP}{MC}$ $\Rightarrow$ đpcm
c) Gọi I' là giao điểm của AP và BC
Xét $\bigtriangleup I'BP$ và $\bigtriangleup I'AC$ có :
$\left.\begin{matrix} & &\widehat{BI'P}=\widehat{AI'C} \\ & &\widehat{I'BP}=\widehat{I'AC} \end{matrix}\right\}\Rightarrow \bigtriangleup I'BP\sim \bigtriangleup I'AC(g-g)$
$\Rightarrow \frac{BP}{AC}=\frac{I'B}{I'A}$
Tương tự, ta có : $\bigtriangleup I'CP\sim \bigtriangleup I'AB(g-g)\Rightarrow \frac{CP}{AB}=\frac{I'C}{I'A}$
mà $\frac{BP}{AC}=\frac{CP}{AB}$ (câu b)
$\Rightarrow I'B=I'C\Rightarrow$ I' là trung điểm của BC mà I cũng là trung điểm BC $\Rightarrow I\equiv I'$
$\Rightarrow BC,ON,AP$ đồng quy.