Chủ đề này có 527 trả lời

[githenhi512]

           $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & & \\ 3x^{2}+y+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4-5y}& & \end{matrix}\right.$

Đk: $x\geq \frac{-1}{3},y\leq 0.8$

Từ (1). Mà $(y+\sqrt{y^{2}+1})(\sqrt{y^{2}+1}-y)=1$, $(\sqrt{x^{2}+1}+x)(\sqrt{x^{2}+1}-x)=1$

$\Rightarrow x=-y$ thay vào (2) tđ:

$3x^{2}-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4+5x}$

$\Leftrightarrow 3x(x-1)=\left [ \sqrt{3x+1} -(x+1)\right ]+\left [ \sqrt{4+5x}-(x+2) \right ]$

$\Leftrightarrow 3x(x-1)=\frac{x(1-x)}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\frac{x(1-x)}{\sqrt{4+5x}+x+2}$

Mà $3+\frac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{4+5x}+x+2}> 0\vee x\geq \frac{-1}{3}$

$\Rightarrow x(x-1)=0$

N x=0(t/m) $\Rightarrow$ y=0(t/m)

N x=1(t/m) $\Rightarrow$ y=-1(t/m)

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

           $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & & \\ 3x^{2}+y+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4-5y}& & \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-1}{3};y\leq \frac{4}{5}$

Xét phương trình ở trên:

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1\Leftrightarrow (x^2-x^2-1)(y+\sqrt{y^2+1})=x-\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}$
Chứng minh tương tự ta cũng được: $x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}$ $\Rightarrow 2x+2y=0\Leftrightarrow x=-y$

Thế vào phương trình ở dưới rồi giải là ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oo Nguyen Hoang Nguyen oO: 23-04-2016 - 05:43

[tanthanh112001]

4) Tìm x, y, z thỏa $\left\{\begin{matrix} x,y,z \in N^{*} & & & \\ x+y+z>11 & & & \\ 8x+9y+10z=100 & & & \end{matrix}\right.$

4 ) Ta có : $8x+8y+8z<8x+8y+10z=100(x,y,z \in N^*)\\\Rightarrow x+y+z<\frac {100}{8}=12,5<13\Rightarrow x+y+z<13$

mà $x+y+z>11\Rightarrow 11<x+y+z<13$

mà $x+y+z \in N^*$ (vì $x,y,z \in N^*$) $\Rightarrow x+y+z=12$

Từ đó ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} x+y+z=12(nhan8) & & \\ 8x+9y+10z=100 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x+8y+8z=96 & & \\ 8x+9y+10z=100 & & \end{matrix}\right.\\\Rightarrow y+2z=4$

TH1 : $z=1\Rightarrow y=4-2z=4-2=2$ và $x=9$

Th2 : $z\ge2\Rightarrow2z\ge4$ mà $y\ge1(y\in N^*)\Rightarrow y+2z\ge5$ (loại vì $y+2z=4$)

Vậy $x=9,y=2,z=1$

P/s : mình xin được sửa lại, sau 5 ngày nếu có bài nào đó chưa ai giải thì người post bài đó phải giải, nếu quên mình sẽ gửi tin nhắn để nhắc. Vì vậy các bạn không nên đăng những bài mà chưa biết lời giải hoặc quá khó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 23-04-2016 - 14:07

[ducthang0701]

đã sau 3 ngày, như đã quy định mình sẽ giải bài này :

1) Từ hệ đã cho ta có : $\frac{x-1}{xy-3}=\frac{y-2}{xy-4}=\frac{3-x-y}{7-x^{2}-y^{2}}(1)$

TH1 : $(xy-3)+(xy-4)=0\Rightarrow xy=\frac{7}{2}$

 

đoạn này là sao bạn nhỉ,mình chưa hiểu lắm

[ducthang0701]

5:giải hpt: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{3}=-49& & \\ x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 23-04-2016 - 21:09
không gõ latex

[tanthanh112001]

đoạn này là sao bạn nhỉ,mình chưa hiểu lắm

Đó chỉ là xét từng TH đối với đằng thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thôi ! 

Nếu $b+d=0$ thì ta không thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$ vì mẩu số bằng 0

VD: $\frac{1}{-2}+\frac{3}{2}\neq \frac{1+3}{-2+2}$ (thường thì đối với 1 phân số cụ thể nào đó ta hay để dấu trừ ở tử nên mới thấy nó bằng nhau).

Nếu $b+d\neq 0$ thì ta có thể áp dụng được vì mẫu số khác 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 23-04-2016 - 21:24

[Nobel]

Lâu lâu chém phát thị uy 

Cho $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=1$

a.Cmr trong 3 số a,b,c có 1 số bằng tổng hai ssos kia.

b.Cmr trong 3 phân thức đã cho,có 1 phân thức bằng -1,hai phân thức còn lại bằng 1.

[nntien]

Mình cũng góp một bài:

Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa các tính chất:

1. a lẻ.

2. UCLN(a,b,c)=1

3. a, b, c là thỏa : $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng khi đó $abc$ là số chính phương. 

Từ điều kiện 3 ta có: $2bc+ca=ab$

$(a,2)=1$ => $bc \vdots a$, $ca \vdots b$, $ab \vdots c$

Tồn tại các số $x,y,z$ sao cho:

$bc=ax, ca=by, ab=cz$ => $a^2=yz, b^2=zx, c^2=xy$. (1)

Ta chứng tỏ: $(x,y)=(y,z)=(z,x)=1$. (2)

Thật vậy, gọi $p$ là ước nguyên tố của $x$. Từ (1) => $b \vdots p$, $c \vdots p$.

Từ điều kiện 2 (là điều kiện của bài toán chứ không phải (2))=> a không chia hết cho p. => yz không chia hết cho p => $(x,y)=(z,x)=1$.

Tương tự ta chứng minh được: $(y,z)=1$.

Từ (1), (2) => $x,y,z$ là các số chính phương.

Mà: $a^2b^2c^2=x^2y^2z^2$ => $abc=xyz$ => đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 25-04-2016 - 15:54

[uchihasatachi061]

Từ điều kiện 3 ta có: $2bc+ca=ab$

=> $bc \vdots a$, $ca \vdots b$, $ab \vdots c$

Tồn tại các số $x,y,z$ sao cho:

$bc=ax, ca=by, ab=cz$ => $a^2=yz, b^2=zx, c^2=xy$. (1)

Ta chứng tỏ: $(x,y)=(y,z)=(z,x)=1$. (2)

Thật vậy, gọi $p$ là ước nguyên tố của $x$. Từ (1) => $b \vdots p$, $c \vdots p$.

Từ điều kiện 2 => $a \nvdots p$. => $yz \nvdots p$ => $(x,y)=(z,x)=1$.

Tương tự ta chứng minh được: $(y,z)=1$.

Từ (1), (2) => $x,y,z$ là các số chính phương.

Mà: $a^2b^2c^2=x^2y^2z^2$ => $abc=xyz$ => đpcm.

đoạn cm $(x,y)=(z,x)=1$. rõ hơn dc k???   

[nntien]

đoạn cm $(x,y)=(z,x)=1$. rõ hơn dc k??? 

Sử dụng phản chứng đó bạn: giả sử $(x,y)=d \neq 1$ => tồn tại ước nguyên tố p của d => x chia hết cho p, y chia hết cho p =>vô lý => $(x,y)=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 25-04-2016 - 16:03

[nntien]

Góp một bài toán vui như sau:

Bảy chú lùn ngồi quây quanh một chiếc bàn tròn. Bạch Tuyết rót hết 3 lít sữa vào ly cho các chú lùn tùy theo năng suất làm việc của các chú. Tuy nhiên sau đó mỗi chú lùn lại chia đều hết phần sữa của mình cho sáu người còn lại và chia theo thứ tự chiều kim đồng hồ. Đến người cuối cùng sau khi chia phần sữa của mình thì lạ thay phần sữa mỗi chú lại giống như lúc đầu Bạch Tuyết đã rót. Tìm lượng sữa đã rót ở mỗi ly lúc đầu. 

[hoduchieu01]

Góp một bài toán vui như sau:

Bảy chú lùn ngồi quây quanh một chiếc bàn tròn. Bạch Tuyết rót hết 3 lít sữa vào ly cho các chú lùn tùy theo năng suất làm việc của các chú. Tuy nhiên sau đó mỗi chú lùn lại chia đều hết phần sữa của mình cho sáu người còn lại và chia theo thứ tự chiều kim đồng hồ. Đến người cuối cùng sau khi chia phần sữa của mình thì lạ thay phần sữa mỗi chú lại giống như lúc đầu Bạch Tuyết đã rót. Tìm lượng sữa đã rót ở mỗi ly lúc đầu. 

đánh số bài đi chứ bạn 

bài 6:Bảy chú lùn ngồi quây quanh một chiếc bàn tròn. Bạch Tuyết rót hết 3 lít sữa vào ly cho các chú lùn tùy theo năng suất làm việc của các chú. Tuy nhiên sau đó mỗi chú lùn lại chia đều hết phần sữa của mình cho sáu người còn lại và chia theo thứ tự chiều kim đồng hồ. Đến người cuối cùng sau khi chia phần sữa của mình thì lạ thay phần sữa mỗi chú lại giống như lúc đầu Bạch Tuyết đã rót. Tìm lượng sữa đã rót ở mỗi ly lúc đầu. 

[ducthang0701]

cắt nhau tại S. AO và BS cắt EF tại Y và X. 

hình như là nhầm X với Y thì phải

[Lawer]

Lâu lâu chém phát thị uy 

Cho $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=1$

a.Cmr trong 3 số a,b,c có 1 số bằng tổng hai ssos kia.

b.Cmr trong 3 phân thức đã cho,có 1 phân thức bằng -1,hai phân thức còn lại bằng 1.

a.Để chứng tỏ trong 3 số $a,b,c$ có 1 số bằng tổng 2 số kia ,ta sẽ chứng minh $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=0$. Từ giả thiết, ta có:

$(a^2+b^2-c^2)c+(b^2+c^2-a^2)a+(c^2+a^2-b^2)b=2abc$.

Thêm bớt $2abc$, ta có:

$(a^2+b^2-c^2+2ab)c+(b^2+c^2-a^2-2bc)a+(c^2+a^2-b^2-2ac)b=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a+b-c)c+(b-c+a)(b-c-a)a+(c-a+b)(c-a-b)b=0$

Đặt $(a+b-c)$ làm thừa số chung ở vế trái:

$(a+b-c)(c^2-a^2+2ab-c^2)=0\Leftrightarrow (a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)=0$

Nếu $a+b-c=0$ thì $c=a+b$.

Nếu $c+a-b=0$ thì $b=a+c$.

Nếu $c-a+b=0$ thì $a=b+c$.

b. Trường hợp $c=a+b$,ta có:

$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-a^2-2ab-b^2}{2ab}=\frac{-2ab}{2ab}=-1$

$\frac{b^2+c^2-a^2}{2ab}=\frac{b^2+a^2+2ab+b^2-a^2}{2b(a+b)}=\frac{2b(a+b)}{2b(a+b)}=1$

$\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-b^2}{2a(a+b)}=\frac{2a(a+b)}{2a(a+b)}=1$

Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 26-04-2016 - 21:06

[Nobel]

Thêm bài nữa:

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$

[Mystic]

Thêm bài nữa:

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$

Bài bạn Nobel còn thiếu 1 ý nữa ,đề đầy đủ là:

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì:

a) $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$

b) $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $3^n$

[Lawer]

a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$

 

 

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì:

b) $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $3^n$

a) Ta cần viết tích $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ thành một tích trong đó có $n$ thừa số 2. Viết tích trên thành:

$\frac{1.2.3...(2n)}{1.2.3...n}=[1.3.5...(2n-1)].\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}$

Biểu thức $\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}$ rút gọn thành $\frac{[1.2.3...n].2^n}{1.2.3...n}=2^n$.

Như vậy $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$.

b) Làm tương tự câu a:

Viết tích $(n+1)(n+2)(n+3)...(3n)$ dưới dạng:

$\frac{1.2.3...(3n)}{1.2.3...n}=[1.4.7...(3n+1)].[2.5.8...(3n+2)].\frac{3.6.9...(3n)}{1.2.3...n}$

Biểu thức $\frac{3.6.9...(3n)}{1.2.3...n}$ rút gọn thành $\frac{[1.2.3...n].3^n}{1.2.3...n}=3^n$.

Như vậy $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $3^n$.

[Nobel]

a) Ta cần viết tích $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ thành một tích trong đó có $n$ thừa số 2. Viết tích trên thành:

$\frac{1.2.3...(2n)}{1.2.3...n}=[1.3.5...(2n-1)].\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}$

Biểu thức $\frac{2.4.6...(2n)}{1.2.3...n}$ rút gọn thành $\frac{[1.2.3...n].2^n}{1.2.3...n}=2^n$.

Như vậy $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$.

b) Làm tương tự câu a:

Viết tích $(n+1)(n+2)(n+3)...(3n)$ dưới dạng:

$\frac{1.2.3...(3n)}{1.2.3...n}=[1.4.7...(3n+1)].[2.5.8...(3n+2)].\frac{3.6.9...(3n)}{1.2.3...n}$

Biểu thức $\frac{3.6.9...(3n)}{1.2.3...n}$ rút gọn thành $\frac{[1.2.3...n].3^n}{1.2.3...n}=3^n$.

Như vậy $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $3^n$.

Ở phần chữ đỏ bạn có nói là "tích trong đó có $n$ thừa số 2".Vậy sao các số trong dấu ngoặc vuông lại không có thừa số 2 vậy ?

[Lawer]

Ở phần chữ đỏ bạn có nói là "tích trong đó có $n$ thừa số 2".Vậy sao các số trong dấu ngoặc vuông lại không có thừa số 2 vậy ?

Bởi vì biểu thức trong dấu ngoặc vuông đó là tích của các số lẻ liên tiếp nên không chứa thừa số 2 nào !

[tanthanh112001]

Bài bạn Nobel còn thiếu 1 ý nữa ,đề đầy đủ là:

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì:

a) $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$

b) $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $3^n$

 

Thêm bài nữa:

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì $(n+1)(n+2)(n+3)...(2n)$ chia hết cho $2^n$

Hai câu đó ở mình đã đăng lên ở đây. Mà các bạn chú ý chỉ đăng bài có trong kì thi chuyên toán thôi nhá !