Chủ đề này có 1 trả lời

[Coppy dera]

Tìm Min $\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}$ với $x,y>0$ và $x^2+y^2=2$

[NTA1907]

Tìm Min $\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}$ với $x,y>0$ và $x^2+y^2=2$

$\frac{x^{4}}{x^{2}\sqrt{y}}+\frac{y^{4}}{y^{2}\sqrt{x}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x^{3}}+\sqrt{y^{3}})}$

Ta chứng minh: $\sqrt{xy}(\sqrt{x^{3}}+\sqrt{y^{3}})\leq 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\leq 2$

Ta có: $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}\leq 2(x+y)\leq 2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=4$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 2$

$\sqrt{xy}(x-\sqrt{xy}+y)\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}\leq \frac{4}{4}=1$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{\sqrt{y}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=1$