Chủ đề này có 3 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c>1$ sao cho: $\left\{\begin{matrix} ab+1\vdots c\\bc+1\vdots a \\ ca+1\vdots b \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 27-03-2016 - 17:42

[Ego]

WLOG, giả sử $a \ge b \ge c$
Từ phương trình ban đầu ta suy ra $ab + bc + ca + 1 \vdots abc$. Mặt khác, $a, b, c$ nguyên dương nên $ab + bc + ca + 1 \ge abc$.
Lại có $(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ge 1 \iff abc + a + b + c \ge 2 + ab + bc + ca$ (*)
TH1. Nếu $ab + bc + ca + 1 \ge 2abc$ thì từ (*) ta có $a + b + c \ge 1 + abc = 1 + a(bc + 1 - 1) \ge 1 + a(b + c) > a + b + ac$ (từ BĐT $(b - 1)(c - 1) \ge 1$). Vô lí.
TH2. $ab + bc + ca + 1 = abc \iff 1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc}$.
Đến đây kiểm tra thôi, nếu $c \ge 4$ thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{64} < 1$

Do đó $c \le 3$.

• Nếu $c = 2$ thì ta viết lại, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{2ab} = \frac{1}{2}$
  Nếu $b \ge 5$ tương tự ta có điều vô lí. Kiểm tra được $(b = 3 \implies a = 7)$; và $b = 4$ thì không có nghiệm.
• Nếu $c = 3$ thì ta viết lại, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{3ab} = \frac{2}{3}$
  Nếu $b \ge 4$ thì tương tự có điều vô lí. Kiểm tra được PT này vô nghiệm.

Vậy ta có $(a, b, c) = (7, 3, 2)$ và các hoán vị là nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 27-03-2016 - 18:20

[O0NgocDuy0O]

WLOG, giả sử $a \ge b \ge c$
Từ phương trình ban đầu ta suy ra $ab + bc + ca + 1 \vdots abc$. Mặt khác, $a, b, c$ nguyên dương nên $ab + bc + ca + 1 \ge abc$.
Lại có $(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ge 1 \iff abc + a + b + c \ge 2 + ab + bc + ca$ (*)
TH1. Nếu $ab + bc + ca + 1 \ge 2abc$ thì từ (*) ta có $a + b + c \ge 1 + abc = 1 + a(bc + 1 - 1) \ge 1 + a(b + c) > a + b + ac$ (từ BĐT $(b - 1)(c - 1) \ge 1$). Vô lí.
TH2. $ab + bc + ca + 1 = abc \iff 1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc}$.
Đến đây kiểm tra thôi, nếu $c \ge 4$ thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{64} < 1$

Do đó $c \le 3$.

• Nếu $c = 2$ thì ta viết lại, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{2ab} = \frac{1}{2}$
  Nếu $b \ge 5$ tương tự ta có điều vô lí. Kiểm tra được $(b = 3 \implies a = 7)$; và $b = 4$ thì không có nghiệm.
• Nếu $c = 3$ thì ta viết lại, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{3ab} = \frac{2}{3}$
  Nếu $b \ge 4$ thì tương tự có điều vô lí. Kiểm tra được PT này vô nghiệm.

Vậy ta có $(a, b, c) = (7, 3, 2)$ và các hoán vị là nghiệm.

Cho em hỏi là tại sao chỉ có $2$ trường hợp $ab + bc + ca + 1 \ge 2abc$  và  $ab + bc + ca + 1 = abc$ vậy ạ?

[Ego]

Do $ab + bc + ca + 1 \vdots abc$ nên $ab + bc + ca + 1 = h.abc$. Anh chỉ xét $h = 1$ và $h \ge 2$ thôi, nhiêu đó đã đủ hết khả năng của $h$ rồi.