Chủ đề này có 1 trả lời

[lucifer97]

Cho tam giác $ABC$ với trọng tâm $G$ và $M, N, P$ là trung điểm $BC, AC, AB$. Chứng minh tâm $6$ đường tròn $(GBM), (GCM), (GCN), (GAN), (GAP), (GBP)$ nằm trên 1 đường tròn

[baopbc]

Cho tam giác $ABC$ với trọng tâm $G$ và $M, N, P$ là trung điểm $BC, AC, AB$. Chứng minh tâm $6$ đường tròn $(GBM), (GCM), (GCN), (GAN), (GAP), (GBP)$ nằm trên 1 đường tròn

Bài này đẹp nhưng không khó lắm, mình xin giải vậy!

Nhận xét: Do vai trò giữa các tâm đường tròn ở đây là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh có $4$ tâm đường tròn cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải.(TÓM TẮT) Gọi $X, Y, Z, T$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $BGP, BMG, CMG, CNG$. Ta chứng minh $X, Y, Z, T$ đồng viên.

Điều này tương đương với chứng minh: $\angle XTZ=\angle XYZ$

Gọi $K$ là giao của $(BGP)$ với $(NGC)$. Dễ thấy $K$ là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $APGNBC$

Khi đó đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\angle BGK=\angle CGM$

$\Leftrightarrow \triangle GKB\sim \triangle GPA$

Mặt khác, dễ thấy $\triangle ABK\sim \triangle CGK (g.g)$

$\Rightarrow \triangle GKB\sim \triangle GPA(c.g.c)$

Bài toán được chứng minh!

Hình vẽ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 27-03-2016 - 22:48