Chủ đề này có 15 trả lời

[lenadal]

ĐỀ SỐ 2(đề chọn đội  tuyển)

Bài 1

 a Tìm các số nguyên $x;y$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+5x^{2}y^{2}+60=37xy$

 b Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $A=n.4^{n}+3^{n} \vdots 7$

Bài 2 Giải các phương trình sau:

 a $2x^{4}-21x^{3}+74x^{2}-105x+50=9$

 b $(2x-5)^{3}+27(x-1)^{3}+(8-5x)^{3}=0$

Bài 3

a Cho $x;y;z>0 ; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

CMR $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq 1$

Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao $AF;BD;CE$ cắt nhau tại H.

    a, CMR tang giác ADE; FBE; FDC đồng dạng 

    b, Gọi $S_{1};S_{2};S_{3}$ lần lượt là diện tích của các tam giác $ADE;FBE;FDC$

  cmr $\frac{S_{1}}{AH^{2}}=\frac{S_{2}}{BH^{2}}=\frac{S_{3}}{CH^{2}}$

   c Gọi $M;N;P;Q$ lần lượt là hình chiếu của F trên $AB;BD;CE;CA$. CMR $M;N;P;Q$ thẳng hàng

Bài 5 Tìm GTLN hoặc GTNN nếu có thể của biểu thức 

 $M=\frac{232y^{3}-x^{3}}{2xy+24y^{2}}+\frac{783z^{3}-8y^{3}}{6yz+54z^{2}}+\frac{29x^{3}-27z^{3}}{3xz+6x^{2}}$

với $x;y;z>0; x+2y+3z=1/4$

ps Mọi người tiếp tực tham giai giải (đây là một đề khá phức tạp)

đáp án sẽ có vào một số ngày sau sau khi mọi người đã giải     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 28-03-2016 - 20:40

[le truong son]

ĐỀ SỐ 2(đề chọn đội  tuyển)

 

Bài 3

a Cho $x;y;z>0 ; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

CMR $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq 1$

 

Bài 3:

$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 28-03-2016 - 20:11

[le truong son]

ĐỀ SỐ 2(đề chọn đội  tuyển)

Câu1

 b Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $A=n.4^{2}+3^{n} \vdots 7$

 

1b(đó $4^n hay 4^2$ bn  )

Với n=2k($k\epsilon \mathbb{N}$)

  A=$n.4^n+3^n=2k.4^{2k}+3^{2k}=(2k+1).4^{2k}-(4^{2k}-3^{2k})=(2k+1).4^{2k}-7B(B\epsilon \mathbb{N})$

=>$2k+1\vdots 7=>2k=7h-1(h\epsilon \mathbb{N})$

=>n=$7h-1$

Tương tự cho trường hợp n=2k+1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 28-03-2016 - 20:21

[lenadal]

4

 

1b(đó $4^n hay 4^2$ bn  )

Với n=2k($k\epsilon \mathbb{N}$)

  A=$n.4^n+3^n=2k.4^{2k}+3^{2k}=(2k+1).4^{2k}-(4^{2k}-3^{2k})=(2k+1).4^{2k}-7B(B\epsilon \mathbb{N})$

=>$2k+1\vdots 7=>2k=7h-1(h\epsilon \mathbb{N})$

=>n=$7h-1$

Tương tự cho trường hợp n=2k+1

4^n đó

[lenadal]

leanhdast năm ngoái lm bài cuối chưa bài min max còn mỗi bài đó ko pt làm

[le truong son]

4

 

4^n đó

mình từng lm bài này nên nhớ $4^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 28-03-2016 - 20:23

[leanh9adst]

Bài 2: a) Tổng các hệ số bằng 0 nên chắc chắn có nghiệm x=1

b) Đặt 2x-5=a; 3x-3=b

PT đã cho trở thành $a^3+b^3-(a+b)^3=0\Rightarrow ab(a+b)=0$

[lenadal]

Bài 2: a) Tổng các hệ số bằng 0 nên chắc chắn có nghiệm x=1

b) Đặt 2x-5=a; 3x-3=b

PT đã cho trở thành $a^3+b^3-(a+b)^3=0\Rightarrow ab(a+b)=0$

Bài 5 TUẤN ANH ; t chưa pt làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 28-03-2016 - 20:34

[HoaiBao]

ĐỀ SỐ 2(đề chọn đội  tuyển)

Bài 1

 a) Tìm các số nguyên $x;y$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+5x^{2}y^{2}+60=37xy$

Phương trình tương đương $4(x-y)^2+5(2xy-7)^2=5 \Rightarrow [(x-y)^2;(2xy-7)^2]=(0;1) \Rightarrow (x;y)=(-2;-2);(2;2)$

[lenadal]

Phương trình tương đương $4(x-y)^2+5(2xy-7)^2=5 \Rightarrow [(x-y)^2;(2xy-7)^2]=(0;1) \Rightarrow (x;y)=(-2;-2);(2;2)$

cũng có thể lm như sau

$\Leftrightarrow (x-y)^{2}=5(4-xy)(xy-3)$

mà x;y nguyên nên $xy= 3 or 4$

[I Love MC]

Câu 5 : $x=a,2y=b,3z=c \Rightarrow a+b+c=\frac{1}{4}$  
BĐT cần tìm min,max $\Leftrightarrow \sum \frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}$ 
Chú ý rằng $(5b-a)(ab+6b^2)-(29b^3-a^3)=(b-a)^2(b+a) \ge 0$ 
Tương tự công lại suy ra $M \le 4(a+b+c)=1$

[tpdtthltvp]

Câu 5 : $x=a,2y=b,3z=c \Rightarrow a+b+c=\frac{1}{4}$  
BĐT cần tìm min,max $\Leftrightarrow \sum \frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}$ 
Chú ý rằng $(5b-a)(ab+6b^2)-(29b^3-a^3)=(b-a)^2(b+a) \ge 0$ 
Tương tự công lại suy ra $M \le 4(a+b+c)=1$

Sao lại nghĩ ra được số $5b-a$ vậy anh?

[I Love MC]

Sao lại nghĩ ra được số $5b-a$ vậy anh?

À em thử nghĩ từ một bất đẳng thức đơn giản nhé : $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$ (1)
Nhận thấy trên mẫu đều là bậc $3$ thì ta chợt nghĩ ngay đến bất đẳng thức này 
Còn về $5b-a$ thì ta chọn như vậy để ta trở về bất đẳng thức (1) (dễ thấy $5.6-29=1$)

[royal1534]

Sao lại nghĩ ra được số $5b-a$ vậy anh?

Theo kinh nghiệm của anh. Thì những bđt như thế này khi biến đổi tương đương luôn luôn cho ra bđt cuối cùng là $a^3+b^3 \geq ab(a+b)$ (Là 1 bđt đúng. Dễ chứng minh)

Bây giờ ta thử làm ngược lên nhé. Xem như ta không biết cái $5b-a$ kia đi

Ta có 

$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$

$\Leftrightarrow a^3-29b^3 \geq ab(a+b)-30b^3$

$\Leftrightarrow a^3-29b^3 \geq b(a-5b)(a+6b)$ (Cái này muốn phân tích thành nhân tử thì bám vào cái mẫu số là $6b^2+ab$)

$\Leftrightarrow \frac{a^3-29b^3}{ab+6b^2} \geq a-5b$

$\Leftrightarrow \frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2} \leq 5b-a $

Tới đây ta có đpcm

[leanh9adst]

Câu này dùng kĩ thuật UCT, nhưng tham khảo cách làm bên trên ý dễ hiểu đấy

[thaibuithd2001]

Chưa thấy ai giải câu hình , mình giải trc câu $c$ (câu này có vẻ khó hơn 2 câu $a,b$)

Câu $c$ liên quan đến tứ giác nội tiếp nên ta phát biểu 2 bài toán phụ sau

bài toán phụ thứ nhất: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^{\circ}$.Ta gọi các cặp góc như 2 góc $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ACD}$ là cặp góc cùng nhìn một cạnh.CTR:các góc cùng nhìn một cạnh của tứ giác $ABCD$ bằng nhau.

Chứng minh: Kẻ $AE$ // $BC$ ($E$ thuộc tia $CD$)

                             $AF$ // $CD$ ($F$ thuộc tia $BC$)

      $\Delta ABF \sim \Delta ADE$ => $\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AE}=\frac{EC}{EA}$ => $\Delta ABD \sim \Delta ECA$ (c_g_c) => đpcm

bài toán phụ thứ 2:Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{CBD}=\widehat{CAB}=90^{\circ}$.CTR:các góc cùng nhìn một cạnh của tứ giác $ABCD$ bằng nhau.

Chứng minh: gọi $T=AD \cap BC$ . dễ thấy $\Delta EBA \sim \Delta EDC$ từ đây dễ suy ra đpcm

Quay lại bài toán: gọi $H$ là trực tâm

                               Xét tứ giác $MBNF$ , theo bài toán phụ thứ hai thì $\widehat{MNB}=\widehat{MFB}=\widehat{ECB}$  

                               Xét tứ giác $HNFB$ , theo bài toán phụ thứ nhất thì $\widehat{FNB}=\widehat{FHP}$

                               $\widehat{MNB}+\widehat{BNP}+\widehat{FNP}=90^{\circ}+\widehat{ECB}+\widehat{FHP}=180^{\circ}$ ($\Delta CFH$ vuông tại $F$)

                    => $M,N,P$ thẳng hàng 

                    Tương tự $N,P,Q$ thẳng hàng => $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 29-03-2016 - 21:29