Chủ đề này có 6 trả lời

[Ego]

Lâu rồi không làm BĐT, càng ngày càng dở :'(. Tặng các bạn.
Cho $a \ge b \ge c > 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}b}{c} + \frac{b^{2}c}{a} + \frac{c^{2}a}{b} \ge a^{2} + b^{2} + c^{2}$$

[anhquannbk]

Lâu rồi không làm BĐT, càng ngày càng dở :'(. Tặng các bạn.
Cho $a \ge b \ge c > 0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}b}{c} + \frac{b^{2}c}{a} + \frac{c^{2}a}{b} \ge a^{2} + b^{2} + c^{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$(\dfrac{a^{2}b}{c}+\dfrac{b^{2}c}{a}+\dfrac{c^{2}a}{b})(\dfrac{a^{2}c}{b}+\dfrac{b^{2}a}{c}+\dfrac{c^{2}b}{a}) \ge (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$\dfrac{a^{2}b}{c}+\dfrac{b^{2}c}{a}+\dfrac{c^{2}a}{b} \ge \dfrac{a^{2}c}{b}+\dfrac{b^{2}a}{c}+\dfrac{c^{2}b}{a} $

Điều này tương đương với:

$(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ac)\ge 0$ (đúng) vì $a\ge b\ge c >0$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

[Ego]

Lời giải 1 dòng.
$$\frac{a^{2}b}{c} + \frac{b^{2}c}{a} + \frac{c^{2}a}{b} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{[a(b - c)]^{2}}{bc} + \frac{[c(a - b)]^{2}}{ab} + \frac{(a - b)(b - c)[a^{2} + b(a - c)]}{ab} \ge 0$$

[royal1534]

Lời giải 1 dòng.
$$\frac{a^{2}b}{c} + \frac{b^{2}c}{a} + \frac{c^{2}a}{b} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{[a(b - c)]^{2}}{bc} + \frac{[c(a - b)]^{2}}{ab} + \frac{(a - b)(b - c)[a^{2} + b(a - c)]}{ab} \ge 0$$

Làm sao để có thể phân tích ảo diệu đến như vậy hở anh ? 

[baopbc]

Làm sao để có thể phân tích ảo diệu đến như vậy hở anh ? 

Mình nghĩ có thể anh ấy làm ngược lại, tức là từ vế sau khai triển ra vế đầu!

Hoắc cũng có thể có cách làm ảo diệu để dẫn đến như trên. Cách này mình cũng từng thấy anh Huyện dùng rồi!

[hoduchieu01]

Lời giải 1 dòng.
$$\frac{a^{2}b}{c} + \frac{b^{2}c}{a} + \frac{c^{2}a}{b} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{[a(b - c)]^{2}}{bc} + \frac{[c(a - b)]^{2}}{ab} + \frac{(a - b)(b - c)[a^{2} + b(a - c)]}{ab} \ge 0$$

cai nay co phai sos ko ạ?

[PlanBbyFESN]

Mình nghĩ có thể anh ấy làm ngược lại, tức là từ vế sau khai triển ra vế đầu!

Hoắc cũng có thể có cách làm ảo diệu để dẫn đến như trên. Cách này mình cũng từng thấy anh Huyện dùng rồi!

 

Chắc không phải gọi là CÁCH đâu Bảo! Chỉ nên gọi nó là một KĨ THUẬT phân tách thôi!

 

 

Ví dụ như:

 

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-ab^{2}-bc^{2}-ca^{2}=(a-b)(a-c)(b-c)$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(a+c)(b+c)}$     

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{(a-b)^{2}}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ca}$

.........................................................                    

 

----------------------------------------------

 

cai nay co phai sos ko ạ?

 

Không! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 01-04-2016 - 17:17