1.Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:
Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé
Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$
Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$
Ta có đpcm.
Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé
Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$
Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$
Ta có đpcm.
Có hai cách khác ở đây ạ http://diendantoanho...-xyleq-frac278/
Có hai cách khác ở đây ạ http://diendantoanho...-xyleq-frac278/
Cách dưới thì giống của mình rồi,còn cách làm Chebyshev thì tốt lắm
$\fn_cm A+3= \frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}= - (\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1})\leq -\frac{9}{ab+bc+ca-3} \leq \frac{-9}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-3} =\frac{27}{8} \rightarrow A\leq \frac{3}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanhanh2801: 02-04-2016 - 19:26
Cách dưới thì giống của mình rồi,còn cách làm Chebyshev thì tốt lắm
Cách của mình :
Ta có bất đẳng thức tương đương $\sum \left (\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{1-ab}\right )\geq \dfrac{5}{8}\Leftrightarrow \sum \dfrac{(1-4ab)^2}{(1-4ab)(1-ab)}\geq \dfrac{15}{8}$
Do $1=(a+b+c)^2>(a+b)^2\geq 4ab$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$\sum \dfrac{(1-4ab)^2}{(1-4ab)(1-ab)}\geq \dfrac{(3-4\sum ab)^2}{\sum (1-4ab)(1-ab)}=\dfrac{(3-4q)^2}{3-5q+4q^2-8r}\geq \dfrac{(3-4q)^2}{3-5q+4q^2-\dfrac{8(4q-1)}{9}}$
Ta cần chứng minh $\dfrac{(3-4q)^2}{3-5q+4q^2-\dfrac{8(4q-1)}{9}}\geq \dfrac{15}{8}\Leftrightarrow (3q-1)(68q-41)\geq 0$
Đúng do $q\leq \dfrac{1}{3}$
-----------------
Cái dạng này nhìn khá quen, không biết có lời giải bằng tiếp tuyến hoặc yếu tố không
Cách của mình :
Ta có bất đẳng thức tương đương $\sum \left (\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{1-ab}\right )\geq \dfrac{5}{8}\Leftrightarrow \sum \dfrac{(1-4ab)^2}{(1-4ab)(1-ab)}\geq \dfrac{15}{8}$
...
Cái dạng này nhìn khá quen, không biết có lời giải bằng tiếp tuyến hoặc yếu tố không
Mình không biết tại sao lại có ý tưởng thêm bớt $\frac{4}{3$ ở khúc này ? Bạn có thể giải thích không ?
Mình không biết tại sao lại có ý tưởng thêm bớt $\frac{4}{3$ ở khúc này ? Bạn có thể giải thích không ?
Mình đưa bất đẳng thức về chứng minh tương đương $\sum \left (k-\dfrac{1}{1-ab}\right )\geq 3k-\dfrac{27}{8}\Leftrightarrow \sum \dfrac{k-1-kab}{1-ab}\geq 3k-\dfrac{27}{8}$
Dạng này nhìn có vẻ quen, vì các bài toán tương tự để giải bằng yếu tố hay Cauchy-Schwarz đếu có thể đưa về như vậy, và mình thêm bớt để có thể sử dụng Cauchy-Schwarz. Ta sẽ cần tìn một đánh giá cho $ab$ sao cho bất đẳng thức $k-1>kab$ càng chặt càng tốt. Ta có một số đánh giá như sau :
$ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}\leq \dfrac{a^2+b^2}{2}\leq \dfrac{1}{2}$
$3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$, cho $c\rightarrow 0$ thì thành $1\geq 3ab$
$1=(a+b+c)^2>(a+b)^2\geq 4ab$
Tuy nhiên nếu để ý một tí thì ta nhận ra rằng đánh giá $(a+b)^2\geq 4ab$ chặt hơn $a^2+b^2\geq 2ab$, và tuy rằng nó chưa phải chặt nhất ( vì theo mình biết thì còn có cả cái mà "Làm mạnh bất đẳng thức Cauchy" nữa ), lúc đó không biết do vô tình hay sao nhưng mình nghĩ $ab<\dfrac{1}{4}$ có lẽ là vừa đủ.
Tiếp theo và việc chọn hằng số $k$ sao cho $\dfrac{k-1}{1}=\dfrac{k}{4}\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{3}$, việc tiếp theo như bạn thấy
Nhưng thực ra mình nghĩ lời giải của mình ở trên vẫn mang hơi hướng gì đó hơi may mắn một tí, thực ra trong quá trình biến đổi mình có sai và tưởng như $\dfrac{1}{4}$ vẫn là không đủ. Và nói thật, lúc đó mình định buông xuôi May dò lại được
Thật sự là lâu quá không làm lại BĐT,giờ cũng quên mất hầu hết mấy cái kỹ thuật chứng minh.Bây giờ đụng đâu mình vẫn cứ phang $p,q,r$ hay $S-O-S$ để giải nhưng không thích lắm do 2 pp trên đòi hỏi nặng tính toán.....
Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé
Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$
Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$
Ta có đpcm.
Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé
Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$
Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$
Ta có đpcm.
trananhduong62 GOOD!
Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé
Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$
Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$
Ta có đpcm.
trananhduong62 GOOD!
Cộng 3 ở hai vế sẽ được bất đẳng thức mới là $\sum_{cyc}\frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8} $
Quy đồng rồi rút gọn, ta được: $3-11(ab+bc+ca)+19abc-27a^2b^2c^2\geqslant 0$
$\Leftrightarrow 4[3+19abc-27a^2b^2c^2]\geqslant 11.4(ab+bc+ca)$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau $abc\geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ , ta được: $xyz\geqslant (1-2a)(1-2b)(1-2c)\Leftrightarrow 11.4(ab+bc+ca)\leqslant 11(1+9abc)$
Ta cần chứng minh: $4[3+19abc-27a^2b^2c^2]\geqslant 11(1+9abc)\Leftrightarrow (1-27abc)(1+4abc)\geqslant 0$ *đúng do $abc\leqslant \frac{(a+b+c)^3}{27} =\frac{1}{27}$*
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-04-2021 - 19:01
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
HayAi có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé
Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$
Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$
Ta có đpcm.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh