Chủ đề này có 6 trả lời

[baopbc]

Một bài cũ: Cho $(O)(O')$ tiếp xúc trong tại $A$ sao cho $(O)$nằm trong $(O')$. 

$i,$ Tìm cách dựng đường tròn tâm $K$ tiếp xúc trong với $(O')$ và tiếp xúc ngoài với $(O)$

Lưu ý: Chỉ được dùng thước và compa.

Hình vẽ

$ii,$ Tìm quỹ tích điểm $K$

 

[lucifer97]

Một bài cũ: Cho $(O)(O')$ tiếp xúc trong tại $A$ sao cho $(O)$nằm trong $(O')$. 

$i,$ Tìm cách dựng đường tròn tâm $K$ tiếp xúc trong với $(O')$ và tiếp xúc ngoài với $(O)$

Lưu ý: Chỉ được dùng thước và compa.

Bài toán conic.png

Hình vẽ

$ii,$ Tìm quỹ tích điểm $K$

Mình xin phép giải câu ii

Cấu hình này đã từng xuất hiện trên TTTH hình như năm 2011 hay 2012 gì đó rồi, đề gốc như sau ( nếu mình không nhầm). Cho $(O)$ cố định, $(I)$ và $(O')$ thay đổi sao cho $(I), (O')$ tiếp xúc nhau và tiếp xúc với $(O)$. Chứng minh trung điểm $IO'$ thuộc 1 đường tròn cố định

Từ bài này, ta dùng phép vị tự là ra đáp án bài bạn 

[lucifer97]

Cách dựng câu i ( mở rộng 3 đường tròn tiếp xúc nhau đôi 1) : ta dùng cấu hình tiếp điểm đường tròn bàng ( nội) tiếp như sau : $(I)$ nôi  tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc $BC, AC, AB$ tại $D, E, F$. Khi đó 3 đường tròn $(A,AE) , (B,BD), (C,CF)$ đôi 1 tiếp xúc nhau

Tương tự cho các đường tròn bàng tiếp ( là cấu hình câu i)

Từ đây ta cũng tìm được hướng giải cho câu ii

[baopbc]

Mình xin phép giải câu ii

Cấu hình này đã từng xuất hiện trên TTTH hình như năm 2011 hay 2012 gì đó rồi, đề gốc như sau ( nếu mình không nhầm). Cho $(O)$ cố định, $(I)$ và $(O')$ thay đổi sao cho $(I), (O')$ tiếp xúc nhau và tiếp xúc với $(O)$. Chứng minh trung điểm $IO'$ thuộc 1 đường tròn cố định

Từ bài này, ta dùng phép vị tự là ra đáp án bài bạn 

Câu $ii$ bạn giải vậy không đúng, thực chất quỹ tích ở đây không phải là đường tròn mà là một $conic$!
Đặc điểm để thấy đây là một $conic$: Nếu cho $K$ chạy qua hai mặt phẳng bờ $OO'$ thì do tính đối xứng nên nếu $K$ thuộc một đường tròn thì $K$ phải thuộc đường tròn đường kính $AB$. Trong đó nếu gọi $C,D$ là giao của $OO'$ với $(O)(O')$ thì $B$ là trung điểm $CD$. Mình đã kiểm tra bằng máy tính và thấy rằng nó không đúng!

Bạn xem lại nhé!

[lucifer97]

Đúng là mình bi nhầm

Rõ ràng $KO-KO'=(r+R)-(r+R')=R-R'=const$ nên $K$ thuôc 1 hyperbol có tiêu điểm là O, O'

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 02-04-2016 - 13:14

[baopbc]

Câu $i$ phù hợp với $THCS$:

Nhận xét.

Gọi $C,D$ lần lượt là các tiếp điểm của $(K)$ với $(O)(O'). CD$ cắt $OA$ tại $L$.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho $\triangle O'OK$ với cát tuyến $\overline{LDC}$ ta được:

$\frac {LO'}{LO}.\frac {DK}{DO'}.\frac {CO}{CO}=1$

Để ý rằng $KD=KC$ nên $\frac {LO'}{LO}=\frac {R'}{R}$

Cách dựng. 

Trên $(O)$ lấy $C$ bất kì. Trên $(O')$ lấy $B$ sao cho $O'B||OC. BC$ cắt $(O')$ tại $D$.

$O'D$ cắt $OC$ tại $K$. Khi đó $(K,KC)$ là đường tròn cần dựng!

Hình vẽ

Các bạn quan tâm hãy tiếp tục đưa ra lời giải!  

[mehinhhoc]

câu i có thể dựng như sau
Lấy A thuộc tiếp tuyến chung của (O), (O'). Vẽ AB, AC tiếp xúc lại với (O), (O'). OB sẽ cắt O'C ở K