Chủ đề này có 3 trả lời

[hthang0030]

Cho a,b,c là các số không âm.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}\geq 10$

[dark templar]

Cho a,b,c là các số không âm.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}\geq 10$

Do bài này nằm trong box THCS nên mình sẽ đưa bạn lời giải phù hợp ở http://artofproblems...1199960p5898149 (xem bài viết #7 )

[hoduchieu01]

dạng tổng quát (trính A0PS)

[hthang0030]

Em đã giải được bài này rồi

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Viết lại bài toán dưới dạng$f(a,b,c)\geq 10$

Dễ dàng đoán được dấu bằng xảy ra khi $a=b$ và $c=0$ 

Từ đó ta nghĩ đến việc đặt $t=\frac{a+b}{2}$

Sau đó ta sẽ chứng minh $f(a;b;c)\geq f(t;t;c)$

Ta có thể dễ dàng chứng minh điều này bằng biến đổi tương đương

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh:$f(t;t;c)\geq 10$ (*)

Thật vậy (*) <=>$2\frac{t^2+16tc}{t^2+c^2}+\frac{c^2+16t^2}{2t^2}\geq 10$

<=>$2\frac{t^2+16tc}{t^2+c^2}-2+\frac{c^2+16t^2}{2t^2}-8\geq 0$

<=>$\frac{32tc-2c^2}{t^2+c^2}+\frac{c^2}{2t^2}\geq 0$ (Luôn đúng vì $t\geq c\geq 0$ )

Vậy $f(a,b,c)\geq 10$ (ĐPCM)