Chủ đề này có 3 trả lời

[dreamcatcher170201]

Cho $a;b;c>0$.Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 02-04-2016 - 20:34

[dark templar]

Cho $a;b;c>0$.Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1$

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$ suy ra $x,y,z>0$ và $xyz=1$.

 

BĐT tương đương với $\frac{x^{3}}{z+2}+\frac{y^{3}}{x+2}+\frac{z^{3}}{2+y} \geqslant 1$

 

Theo C-S:

$$VT \geqslant \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{2(x+y+z)+xy+yz+zx}$$

 

Ta cần chứng minh:

$$\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )+2\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )\geqslant 2(x+y+z)+(xy+yz+zx)$$

 

Theo AM-GM:

$VT\geqslant 2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-3+3\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z^{4}}+\left ( x^{2} y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\right )$

$\geqslant 2\left [ 2\left ( x+y+z \right )-3 \right ]-3+3+2\left ( xy+yz+zx \right )-3=VP+2(x+y+z)+(xy+yz+zx)-9$

$\geqslant VP+2.3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}-9=VP$

 

 

Ta có đpcm.

[tritanngo99]

5656

Hình gửi kèm

• 

[dreamcatcher170201]

5656

 

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$ suy ra $x,y,z>0$ và $xyz=1$.

 

BĐT tương đương với $\frac{x^{3}}{z+2}+\frac{y^{3}}{x+2}+\frac{z^{3}}{2+y} \geqslant 1$

 

Theo C-S:

$$VT \geqslant \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{2(x+y+z)+xy+yz+zx}$$

 

Ta cần chứng minh:

$$\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )+2\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )\geqslant 2(x+y+z)+(xy+yz+zx)$$

 

Theo AM-GM:

$VT\geqslant 2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-3+3\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z^{4}}+\left ( x^{2} y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\right )$

$\geqslant 2\left [ 2\left ( x+y+z \right )-3 \right ]-3+3+2\left ( xy+yz+zx \right )-3=VP+2(x+y+z)+(xy+yz+zx)-9$

$\geqslant VP+2.3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}-9=VP$

 

 

Ta có đpcm.

Đặt x+y+z=a;xy+yz+zx=b=>$b\geq 3;a^{2}\geq 3b$=>$b^{2}\geq 3b=>3b^{2}\geq 3b+2b^{2}=>3b^{2}\geq 3b+6a=>b^{2}\geq b+2a$.Mà ta có $a^{2}\geq 3b=>a^{2}-2b\geq b=>(a^{2}-2b)^{2}\geq b^{2}\geq b+2a=>(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq (xy+yz+zx)+2(x+y+z)$.Ta có $\sum \frac{x^{3}}{z+2}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(xy+yz+zx)+2(x+y+z)}\geq 1$=>đpcm