Chủ đề này có 8 trả lời

[Rias Gremory]

Cho các số $x,y,z$ không âm thỏa mã $x^2+y^2+z^2=2z+1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{3x^2}{2x+y+z-1}+\frac{3y^2}{x+2y-z+1}-2z^2-6x-6y+4z$

[PlanBbyFESN]

 

Cho các số $x,y,z$ không âm thỏa mã $x^2+y^2+z^2=2z+1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{3x^2}{2x+y+z-1}+\frac{3y^2}{x+2y-z+1}-2z^2-6x-6y+4z$

 

$P=(\frac{3x^2}{2x+y+z-1}+\frac{3y^2}{x+2y-z+1})-2z^2-6x-6y+4z\geq\frac{3(x+y)^{2}}{3(x+y)}-2z^2-6x-6y+4z=-2z^{2}-5x-5y+4z$  (C-S)

 

Mà $x^2+y^2+z^2=2z+1\Rightarrow 4z=2(x^2+y^2+z^2-1)$

 

$\Rightarrow P\geq -2z^{2}-5x-5y+2(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)=2\left [(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \right ]-(x+y)-6\geq -6-(x+y)$

 

Lại có: $2z+1=x^2+y^2+z^2\Rightarrow 2z+2=x^2+y^2+z^2+1\geq x^{2}+y^{2}+2z\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2\Rightarrow (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=4\Rightarrow x+y\leq 2$

 

$\Rightarrow P\geq -6-(x+y)\geq -8$

.................................................................

 

Một bài lừa về mặt thị giác!

 

P/S: Sinh nhật em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rias Gremory: 02-04-2016 - 21:26

[Rias Gremory]

 

 

 

$P=(\frac{3x^2}{2x+y+z-1}+\frac{3y^2}{x+2y-z+1})-2z^2-6x-6y+4z\geq\frac{3(x+y)^{2}}{3(x+y)}-2z^2-6x-6y+4z=2z^{2}-5x-5y+4z$  (C-S)

 

Mà $x^2+y^2+z^2=2z+1\Rightarrow 4z=2(x^2+y^2+z^2-1)$

 

$\Rightarrow P\geq 2z^{2}-5x-5y+2(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)=2\left [(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \right ]-(x+y)-6\geq -6-(x+y)$

 

Lại có: $2z+1=x^2+y^2+z^2\Rightarrow 2z+2=x^2+y^2+z^2+1\geq x^{2}+y^{2}+2z\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2\Rightarrow (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=4\Rightarrow x+y\leq 2$

 

$\Rightarrow P\geq -6-(x+y)\geq -8$

.................................................................

 

Một bài lừa về mặt thị giác!

 

P/S: Sinh nhật em

 

 

Ngồi vọc vọc chế chế vậy thôi !! Bài viết của em có một số chỗ bị lỗi , chắc gõ nhầm , anh đã Fix ~!

[manhbbltvp]

c-s la j vay

[Rias Gremory]

 

 

 

$P=(\frac{3x^2}{2x+y+z-1}+\frac{3y^2}{x+2y-z+1})-2z^2-6x-6y+4z\geq\frac{3(x+y)^{2}}{3(x+y)}-2z^2-6x-6y+4z=-2z^{2}-5x-5y+4z$  (C-S)

 

Mà $x^2+y^2+z^2=2z+1\Rightarrow 4z=2(x^2+y^2+z^2-1)$

 

$\Rightarrow P\geq -2z^{2}-5x-5y+2(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1)=2\left [(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \right ]-(x+y)-6\geq -6-(x+y)$

 

Lại có: $2z+1=x^2+y^2+z^2\Rightarrow 2z+2=x^2+y^2+z^2+1\geq x^{2}+y^{2}+2z\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2\Rightarrow (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=4\Rightarrow x+y\leq 2$

 

$\Rightarrow P\geq -6-(x+y)\geq -8$

.................................................................

 

Một bài lừa về mặt thị giác!

 

P/S: Sinh nhật em

 

Lỗi nữa là chưa chứng minh mẫu dương mới C-S , anh cũng mới tự phát hiện !!

 

c-s la j vay

Là bđt Cauchy - schwarz nha bạn !

[NTA1907]

Lỗi nữa là chưa chứng minh mẫu dương mới C-S , anh cũng mới tự phát hiện !!

Bđt C-s đúng với mọi số thực mà bạn, cần gì phải chứng minh mẫu dương nữa!

[Rias Gremory]

Bđt C-s đúng với mọi số thực mà bạn, cần gì phải chứng minh mẫu dương nữa!

Đây là hệ quả bạn à , BĐT dạng này cần mẫu dương nhé !!

[NTA1907]

Đây là hệ quả bạn à , BĐT dạng này cần mẫu dương nhé !!

Ok bạn...mình nhầm

[manhbbltvp]

ko đúng đâu