Chủ đề này có 1 trả lời

[ViLQD03]

1.Cho a,b,c >0. a+b+c=3.CMR:

a + ab + 2abc $\leq \frac{9}{2}$

2. Cho x,y,z>0. thỏa mãn: x(x + y + z) = 3yz.CMR:

$(x+y)^{3} + (x+z)^{3} + 3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 5(y+z)^{3}$

[phamngochung9a]

1.Cho a,b,c >0. a+b+c=3.CMR:

a + ab + 2abc $\leq \frac{9}{2}$

2. Cho x,y,z>0. thỏa mãn: x(x + y + z) = 3yz.CMR:

$(x+y)^{3} + (x+z)^{3} + 3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 5(y+z)^{3}$

2. Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a & & \\ y+z=b & & \\ z+x=c & & \end{matrix}\right.$, giả thiết trở thành: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac$

Ta cần chứng minh: $a^{3}+c^{3}+3abc\leq 5b^{3}$

Ta có: $a^{3}+c^{3}=(a+c)(a^{2}-ac+c^{2})=b^{2}.(a+c)$, vậy cần chứng minh:

$5b^{3}\geq 3abc+b^{2}(a+c)\\\Leftrightarrow 5b^{2}\geq ab+bc+3ac$

Mặt khác: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac\geq \frac{(a+c)^{2}}{4}\Rightarrow a+c\leq 2b$

$\Rightarrow b(a+c)+3ac\leq 2b^{2}+3b^{2}=5b^{2}\Rightarrow Q.E.D$