Chủ đề này có 1 trả lời

[Math Master]

Cho x,y,z > 0 Thỏa mãn $x+y+z = 3$

Tìm Min $A = \frac{x}{y(x+y^2)} + \frac{y}{z(y+z^2)} + \frac{z}{x(z+x^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 03-04-2016 - 17:47

[dark templar]

Cho x,y,z > 0 Thỏa mãn $x+y+z = 3$

Tìm Min $A = \frac{x}{y(x+y^2)} + \frac{y}{z(y+z^2)} + \frac{z}{x(z+x^2)}$

Thực hiện phép biến đổi sau:

$$\frac{x}{y(x+y^{2})}=\frac{1}{y}\left ( 1-\frac{y^{2}}{x+y^{2}} \right )\geqslant \frac{1}{y}\left ( 1-\frac{y^{2}}{2y\sqrt{x}} \right )=\frac{1}{y}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

 

Do đó:

$$A\geqslant \left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )+\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{2\sqrt{y}} \right )+\left ( \frac{1}{z}-\frac{1}{2\sqrt{z}} \right )$$

 

Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\geqslant \frac{5-3x}{4},\forall x>0\Leftrightarrow 3x^{2}-5x-2\sqrt{x}+4\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x}-1 \right )^{2}\left ( 3x+6\sqrt{x}+4 \right )\geqslant 0 (*)$

 

Dễ thấy $(*)$ luôn đúng với mọi $x>0$ nên từ đó ta sẽ có $A\geqslant \frac{15-3(x+y+z)}{4}=\frac{3}{2}$

 

$A_{\min}=\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$.