Chào các bạn như tiêu đề đã ghi thì trong topic này chúng ta sẽ cùng thảo luận về các bài toán bất đẳng thức đến từ các cuộc thi học sinh giỏi Toán khắp nơi trên thế giới trong năm 2016 và kết thúc topic này (có thể là sau IMO 2016) chúng ta sẽ có một file pdf “Inequalities From 2016 Mathematical Olympiads” made in VMF để các thành viên có tài liệu tham khảo, hi vọng các bạn ủng hộ.
Bài 1 (Japan MO Preliminary). Với $a,\,b,\,c,\,d$ là bốn số thực thỏa mãn
\[\left\{\begin{aligned}&(a+b)(c+d)=2\\&(a+c)(b+d)=3\\&(a+d)(b+c)=4\end{aligned}\right.\]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2+d^2.$
Bài 2 (Korea Winter Program Practice Test). Với số nguyên dương $n \geqslant 2$ và $a_i,\,b_i\;(1 \leqslant i \leqslant n)$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i.$ Chứng minh rằng
\[\sum_{i=1}^n \frac{(a_{i+1}+b_{i+1})^2}{n(a_i-b_i)^2+4(n-1)\displaystyle \sum_{j=1}^n a_jb_j} \geqslant \frac{1}{n-1}.\]
Bài 3 (Korea Winter Program Practice Test). Cho ba số thực không âm $x,\,y,\,z$ thỏa mãn
\[(x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=27.\]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^4+y^4+z^4.$
Bài 4 (Romanian Masters In Mathematics). Cho hai số thực dương $x,\,y$ thỏa mãn $x+y^{2016}\geqslant 1.$ Chứng minh rằng $$x^{2016}+y> 1-\frac{1}{100}.$$
Bài 5 (San Diego Math Olympiad). Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn điều kiện $a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab} \geqslant 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $a+b+c.$
Bài 6 (Hong Kong TST). Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}.$$
Bài 7 (Hong Kong TST). Với $n$ là một số nguyên dương, giả sử tồn tại $n$ số thực dương $x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n$ khác nhau sao cho mọi số nguyên $1 \leqslant i,\,j \leqslant n,$ thì $$(3x_i-x_j) (x_i-3x_j)\geqslant (1-x_ix_j)^2.$$ Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $n.$
Bài 8 (Selection Of Kiev To UMO). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng
\[\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2} \geqslant \frac{3}{2}.\]
Bài 9 (Selection Of Kiev To UMO). Với $x,\,y,\,z$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{x^2}{xy+z}+\frac{y^2}{yz+x}+\frac{z^2}{xz+y}\ge \frac{(x+y+z)^3}{3(x^2(y+1)+y^2(z+1)+z^2(x+1)}.$$
Bài 10 (CHKMO). Với $n$ số thực $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n$ thuộc $(1,-1)$ và số nguyên $1 \leqslant i \leqslant n$ thỏa mãn điều kiện
- $a_1+a_2+\cdots+a_n=0.$
- $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=40.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $n.$
Bài 11 (Silk Road Mathematical Olympiad). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực thỏa mãn $| (a-b) (b-c) (c-a) | = 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $| a | + | b | + | c |.$
Bài 12 (China Junior High School Mathematics League). Với $x,\,y,\,z$ là ba số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx\neq 1$ và $$\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy} +\frac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz} +\frac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx} =4.$$ Chứng minh rằng $9(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 8xyz(xy+yz+zx).$
Bài 13 (Final Korean Mathematical Olympiad). Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = (x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy).\]
Bài 14 (Turkey TST). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2 \leqslant 3.$ Chứng minh rằng
$$(a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a).$$
Bài 15 (Australien MO). Cho $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1.$ Chứng minh rằng
$$\left | a+\frac{a}{b}+b+\frac{b}{a} \right |\geq 2-\sqrt{2}.$$
Bài 16 (Israel Winter Camp). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực bất kỳ. Chứng minh rằng
\[4(a^6+b^6+c^6)+5abc(a^3+b^3+c^3)\geq(ab+ac+bc)^3.\]
Lưu ý. Các bài được tô màu xanh là các bài toán đã được giải.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 10-04-2016 - 12:18
sửa tiêu đề: thêm chữ Olympiads