Bài 12 (China Junior High School Mathematics League). Với $x,\,y,\,z$ là ba số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx\neq 1$ và $\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy} +\frac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz} +\frac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx} =4.$ Prove that $$9(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 8xyz(xy+yz+zx).$$
Biến đổi điều kiện đề bài cho ,ta sẽ có:
$\sum x\left ( y^{2}-1 \right )\left ( z^{2}-1 \right )=4xyz\Leftrightarrow xyz\sum xy+\sum x-\sum xy(x+y)=4xyz$
$\Leftrightarrow xyz\sum xy+\left ( \sum x-xyz \right )=\left ( \sum x \right )\left ( \sum xy \right )\Leftrightarrow \left ( \sum xy -1 \right )\left ( \sum x -xyz\right )=0$
$\Leftrightarrow x+y+z=xyz$
Đổi biến $\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z} \right )$ thì ta có $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$.
BĐT cần chứng minh trở thành:
$$9(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8(a+b+c)$$
Viết dưới dạng thuần nhất :
$$\left ( a+b \right )(b+c)(c+a)\geqslant \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
BĐT này chỉ là hệ quả của $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ và $abc\leqslant \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$.Ta có đpcm.