Bài 3 (Korea Winter Program Practice Test). Cho ba số thực không âm $x,\,y,\,z$ thỏa mãn
\[(x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=27.\]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^4+y^4+z^4.$
Giải:
$(x+y-1)^{2}+(y+z-1)^{2}+(z+x-1)^{2}=27 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+(x+y+z)^{2}-4(x+y+z)=24$
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S, ta có:
$24\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{3}+(x+y+z)^{2}-4(x+y+z)\Leftrightarrow x+y+z\leqslant 6$
Do đó, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=24-(x+y+z)^{2}+4(x+y+z) \leqslant 12$
Chú ý rằng, ta cũng có hai bất đẳng thức là $x+y+z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ và $x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geqslant 2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}>4$. Do đó,
$(x+y+z-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}-4)\geqslant 0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}-4(x+y+z)\geqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
$\Leftrightarrow 24-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geqslant x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant (\sqrt{13}+1)^{2}$
Ta lại có được $\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{3} \leqslant x^{4}+y^{4}+z^{4} \leqslant (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}$
Do đó, ta có được giá trị lớn nhất của $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ là $(\sqrt{13}+1)^{4}$ khi $x=y=0,z=\sqrt{13}+1$ và các hoán vị
Giá trị nhỏ nhất của $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ là $48$ khi $x=y=z=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 10-04-2016 - 22:11