Mình tổng hợp lại một số bài chưa có lời giải, mọi người cùng suy nghĩ thử nhé
Bài 23 (Romania JBMO TST 2016). Với $m,n$ là hai số tự nhiên và ba số thực $x,y,z$ thuộc $[0,1].$ Chứng minh rằng
\[0 \leqslant x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}-x^my^n-y^mz^n-z^mx^n \leqslant 1.\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
$(a)$ Chứng minh $ x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n} \geqslant x^my^n+y^mz^n+z^mx^n$
Gọi $(a,b,c)$ là hoán vị của $(x,y,z)$ sao cho $a \geqslant b \geqslant c$
Khi đó ta có $a^m \geqslant b^m \geqslant c^m$ và $a^n \geqslant b^n \geqslant c^n$.
Do đó theo BĐT Hoán vị ta có
$$a^ma^n+b^mb^n+c^mc^n \geqslant a^mb^n+b^mc^n+c^ma^n$$
Và
$$a^ma^n+b^mb^n+c^mc^n \geqslant a^mc^n+b^ma^n+c^ma^n$$
Mà ta có
$$a^ma^n+b^mb^n+c^mc^n=x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}$$
Và
$$x^my^n+y^mz^n+z^mx^n \in \lbrace a^mb^n+b^mc^n+c^ma^n , a^mc^n+b^ma^n+c^ma^n \rbrace$$
Do đó vế trái của BĐT được chứng minh. Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z$
$(b)$ Chứng minh
$$x^my^n+y^mz^n+z^mx^n+1 \geqslant x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}$$
Giả sử $x=max\lbrace x,y,z \rbrace$ thì BĐT được viết lại thành
$$(1-x^{m+n})+y^n(x^m-y^m)+z^m(x^n-z^n)+y^mz^n \geqslant 0$$
BĐT cuối luôn đúng do $x=max\lbrace x,y,z \rbrace$ và $x,y,z \in [0;1]$.
Vậy vế phải BĐT được chứng minh. Xảy ra đẳng thức khi $x=1,y=z=0$ và các hoán vị. $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 15-05-2016 - 21:25