Cho biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$, trong đó $ad-bc=1$. Chứng minh rằng : $P\geq \sqrt{3}$
Chứng minh rằng : $P\geq \sqrt{3}$
Bắt đầu bởi tanthanh112001, 03-04-2016 - 20:59
#1
Đã gửi 03-04-2016 - 20:59
tanthanh112001
-
- Thành viên
-
- 315 Bài viết
Sĩ quan
TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ.
---- Georg Cantor ----
#2
Đã gửi 03-04-2016 - 21:03
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho biểu thức $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$, trong đó $ad-bc=1$. Chứng minh rằng : $P\geq \sqrt{3}$
Sao đăng 2 lần vậy bạn, có ở đây
- tanthanh112001 yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#4
Đã gửi 04-04-2016 - 13:47
lehakhiem212
-
- Thành viên
-
- 113 Bài viết
Trung sĩ
Ta có : $\left ( a^{2}+b^{2} \right )+(c^{2}+d^{2})\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=2\sqrt{a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}}$ (1)
Mà theo giả thiết thì $(ad-bc)^{2}=1\rightarrow a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=2abcd+1$
Thay vào (1)
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}$
Đặt ac+bd=k
Áp dụng BĐT cauchy schwarz
$\rightarrow P\geq \sqrt{4k^{2}+4}+k=\sqrt{(\sqrt{3}^{2}+1^{2})(1^{2}+(-k)^{2})}+k\geq \sqrt{3}-k+k=\sqrt{3}$
Dấu = xảy ra khi...mà thôi bạn tự tính đi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehakhiem212: 04-04-2016 - 13:48
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
