Chủ đề này có 1 trả lời

[quanguefa]

Cho a, b, c>0. CMR: $\sum \frac{a^{4}c}{b(a^{2}c+b^{3})}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$

[dark templar]

Cho a, b, c>0. CMR: $\sum \frac{a^{4}c}{b(a^{2}c+b^{3})}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$

Thực hiện biến đổi:

$$\frac{a^{4}c}{b\left ( a^{2}c +b^{3}\right )}=\frac{a^{2}}{b}\left ( 1-\frac{b^{3}}{a^{2}c+b^{3}} \right )\geqslant \frac{a^{2}}{b}\left ( 1-\frac{b^{3}}{2ab\sqrt{bc}} \right )=\frac{a^{2}}{b}-\frac{a}{2}\sqrt{\frac{b}{c}}$$

 

Do đó:

$$\sum \frac{a^{4}c}{b(a^{2}c+b^{3}}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{b}-\frac{1}{2}\sum a\sqrt{\frac{b}{c}}$$

 

Ta chỉ cần chứng minh:

$$\sum \frac{a^{2}}{b}-\frac{1}{2}\sum a\sqrt{\frac{b}{c}}\geqslant \frac{1}{2}\sum a$$

 

Đặt $x=\sqrt{\frac{a}{b}};y=\sqrt{\frac{b}{c}};z=\sqrt{\frac{c}{a}}$ thì $x,y,z>0$ và $xyz=1$.Để ý là $a=\frac{x}{yz};b=\frac{y}{zx};c=\frac{z}{xy}$

 

Khi đó BĐT trở thành:

$$\sum \frac{x^{3}}{yz}-\frac{1}{2}\sum \frac{x}{z}\geqslant \frac{1}{2}\sum \frac{x}{yz}\Leftrightarrow 2\sum x^{4}-\sum x^{2}y\geqslant \sum x^{2}(*)$$

 

Với $xyz=1$,ta dễ dàng có các BĐT sau thông qua AM-GM:

$\sum x^{4}\geqslant \sum x^{3}\geqslant \sum x^{2}y$ và $\sum x^{4}\geqslant \sum x^{2}$

 

Dễ thấy rằng $(*)$ chỉ là hệ quả của việc cộng các BĐT trên.