Chủ đề này có 3 trả lời

[I Love MC]

Tìm tất cả số nguyên $p$ sao cho tồn tại $2014$ số nguyên dương $a_1,a_2,..,a_{2014}$ thỏa mãn : 
$\begin{cases} &x_1<x_2<...<x_{2014}&\\&\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{2014}{x_{2014}}=p& \end{cases}$

[baopbc]

Tìm tất cả số nguyên $p$ sao cho tồn tại $2014$ số nguyên dương $a_1,a_2,..,a_{2014}$ thỏa mãn : 
$\begin{cases} &x_1<x_2<...<x_{2014}&\\&\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{2014}{x_{2014}}=p& \end{cases}$

Lời giải: 

 

Nhận xét: Do $x_i$ nguyên dương nên $p$ nguyên dương$\Rightarrow p\geq 1$

Do $x_1<x_2<x_3<...<x_{2014}; x_1\geq 1\Rightarrow x_i\geq i (\forall i \in {1;2;3;...;2014}$

$\Rightarrow \sum \frac {i}{x_i}\leq 2014$

$\Rightarrow p\geq 2014$

Dấu bằng xảy ra khi $x_i=i\forall i\in {1;2;3;...;2014}$

Ta thiết lập một thuật toán để viết $p$ qua các số $\frac {i}{x_i}$. Cụ thể ở đây là:

$2014-k=\sum_{i=1}^{2014-2i}\frac {i}{i}+\sum_{2014-2i+1}^{2014}\frac {i}{2i}$.

Vậy $\forall p\in {1007;1008;...;2014}$ thì luôn tồn tại các số nguyên dương $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Trong trường hợp $p=1007$ thì $x_i=2i\forall i\in {1;2;3;...;2014}$

Xét trường hợp $p< 1007$ 

Ta thiết lập một thuật toán tương tự thuật toán trên:

$1007-k=\sum_{i=1}^{2014-4k}\frac {i}{2i}+\sum_{2014-4k+1}^{2014}\frac {i}{4i}$

Vậy có thêm $\left [ \frac {2014}{4} \right ]$ số thỏa mãn.

Tương tự ta suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán được suy ra từ thuật toán trên là là

$\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac {2014}{2^i} \right ] =1007+503+251+125+62+31+15+7+3+1=2005$ (số)

$\Rightarrow \forall p\in {10;11;12;...;2014}$ thì tồn tại các số $x_i$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp $2: p\in {1;2;...;9}$.

Chọn $q=k.p$ sao cho $9<q<2014$

Khi đó tồn tại bộ $x_{q1},x_{q2},...,x_{q2014}$ nguyên dương sao cho $x_{q1}<x_{q2}<...<x_{q2014}$ và $\sum_{i=1}^{2014}\frac {i}{x_{qi}}=q$

Chọn $x_{pi}=k.x_{q_i}$ ta suy ra $\forall p\in {1;2;...;9}$ thì luôn tồn tại bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận: $p\in {1;2;3;4;...;2014}.\blacksquare$

Mọi người kiểm tra lại giùm em! 

[I Love MC]

Lời giải: 

 

Nhận xét: Do $x_i$ nguyên dương nên $p$ nguyên dương$\Rightarrow p\geq 1$

Do $x_1<x_2<x_3<...<x_{2014}; x_1\geq 1\Rightarrow x_i\geq i (\forall i \in {1;2;3;...;2014}$

$\Rightarrow \sum \frac {i}{x_i}\leq 2014$

$\Rightarrow p\geq 2014$

Dấu bằng xảy ra khi $x_i=i\forall i\in {1;2;3;...;2014}$

Ta thiết lập một thuật toán để viết $p$ qua các số $\frac {i}{x_i}$. Cụ thể ở đây là:

$2014-k=\sum_{i=1}^{2014-2i}\frac {i}{i}+\sum_{2014-2i+1}^{2014}\frac {i}{2i}$.

Vậy $\forall p\in {1007;1008;...;2014}$ thì luôn tồn tại các số nguyên dương $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Trong trường hợp $p=1007$ thì $x_i=2i\forall i\in {1;2;3;...;2014}$

Xét trường hợp $p< 1007$ 

Ta thiết lập một thuật toán tương tự thuật toán trên:

$1007-k=\sum_{i=1}^{2014-4k}\frac {i}{2i}+\sum_{2014-4k+1}^{2014}\frac {i}{4i}$

Vậy có thêm $\left [ \frac {2014}{4} \right ]$ số thỏa mãn.

Tương tự ta suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán được suy ra từ thuật toán trên là là

$\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac {2014}{2^i} \right ] =1007+503+251+125+62+31+15+7+3+1=2005$ (số)

$\Rightarrow \forall p\in {10;11;12;...;2014}$ thì tồn tại các số $x_i$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp $2: p\in {1;2;...;9}$.

Chọn $q=k.p$ sao cho $9<q<2014$

Khi đó tồn tại bộ $x_{q1},x_{q2},...,x_{q2014}$ nguyên dương sao cho $x_{q1}<x_{q2}<...<x_{q2014}$ và $\sum_{i=1}^{2014}\frac {i}{x_{qi}}=q$

Chọn $x_{pi}=k.x_{q_i}$ ta suy ra $\forall p\in {1;2;...;9}$ thì luôn tồn tại bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận: $p\in {1;2;3;4;...;2014}.\blacksquare$

Mọi người kiểm tra lại giùm em! 

Thật ra đây là một bài thi vào chuyên Quốc Học - Mình nghĩ lời giải của nó sẽ không phức tạp vậy đâu

[Ankh]

Lời giải: 

 

Nhận xét: Do $x_i$ nguyên dương nên $p$ nguyên dương$\Rightarrow p\geq 1$

Do $x_1<x_2<x_3<...<x_{2014}; x_1\geq 1\Rightarrow x_i\geq i (\forall i \in {1;2;3;...;2014}$

$\Rightarrow \sum \frac {i}{x_i}\leq 2014$

$\Rightarrow p\geq 2014$

Dấu bằng xảy ra khi $x_i=i\forall i\in {1;2;3;...;2014}$

Ta thiết lập một thuật toán để viết $p$ qua các số $\frac {i}{x_i}$. Cụ thể ở đây là:

$2014-k=\sum_{i=1}^{2014-2i}\frac {i}{i}+\sum_{2014-2i+1}^{2014}\frac {i}{2i}$.

Vậy $\forall p\in {1007;1008;...;2014}$ thì luôn tồn tại các số nguyên dương $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Trong trường hợp $p=1007$ thì $x_i=2i\forall i\in {1;2;3;...;2014}$

Xét trường hợp $p< 1007$ 

Ta thiết lập một thuật toán tương tự thuật toán trên:

$1007-k=\sum_{i=1}^{2014-4k}\frac {i}{2i}+\sum_{2014-4k+1}^{2014}\frac {i}{4i}$

Vậy có thêm $\left [ \frac {2014}{4} \right ]$ số thỏa mãn.

Tương tự ta suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán được suy ra từ thuật toán trên là là

$\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac {2014}{2^i} \right ] =1007+503+251+125+62+31+15+7+3+1=2005$ (số)

$\Rightarrow \forall p\in {10;11;12;...;2014}$ thì tồn tại các số $x_i$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp $2: p\in {1;2;...;9}$.

Chọn $q=k.p$ sao cho $9<q<2014$

Khi đó tồn tại bộ $x_{q1},x_{q2},...,x_{q2014}$ nguyên dương sao cho $x_{q1}<x_{q2}<...<x_{q2014}$ và $\sum_{i=1}^{2014}\frac {i}{x_{qi}}=q$

Chọn $x_{pi}=k.x_{q_i}$ ta suy ra $\forall p\in {1;2;...;9}$ thì luôn tồn tại bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết luận: $p\in {1;2;3;4;...;2014}.\blacksquare$

Mọi người kiểm tra lại giùm em! 

 Đại khái bài này mình nghĩ chỉ cần làm 2 bước

 1. Chỉ ra $p\leq 2014$

 2. Chỉ ra với mọi $p\in \{1;2;...;2014\}$ đều tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn bài toán

 Đại khái ý tưởng của mình là thế này

 Xét cho trường hợp $p=1$, hiển nhiên ta chọn $x_\alpha=2014\alpha$ với $\alpha \in \{1;2;...;2014\}$ thì thỏa mãn

 Đẩy lên $p=2$ ta chọn $x_1=1$ và $x_\beta=2013\beta$ với $\beta \in \{2;3;...;2014\}$

 Tương tự, đến $p=k\in [1;2014]$ ta chọn $x_1=x_2=...=x_{k-1}=1$ và $x_\gamma=(2014-k+1)\gamma$ với $\gamma \in \{k;k+1;...;2014\}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 07-04-2016 - 08:30