Cho ba số dương a, b, c; biết $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{c^{3}}{a+2b}\geq \frac{1}{3}$
$\sum \frac{a^3}{b+2c} \geq \frac{1}{3}$
Bắt đầu bởi nhanhmd, 04-04-2016 - 10:43
#2
Đã gửi 04-04-2016 - 22:05
royal1534
-
- Điều hành viên THCS
-
- 773 Bài viết
Trung úy
Cho ba số dương a, b, c; biết $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{b+2c}+\frac{b^{3}}{c+2a}+\frac{c^{3}}{a+2b}\geq \frac{1}{3}$
Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz và bđt AM-GM ta có:
$VT=\sum \frac{a^4}{ab+2ac} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{3(ab+bc+ca)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\frac{1}{3}$
Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
- le truong son, tquangmh, NTA1907 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
