Chủ đề này có 2 trả lời

[quanguefa]

Cho a, b, c>0. Tìm GTLN của: $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

[Ankh]

Cho a, b, c>0. Tìm GTLN của: $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

 - Chuẩn hóa $a+b+c=3$

 - Chứng minh $\dfrac{x(3-x)}{2x^2-6x+9}\leq \dfrac{9}{25}(x-1)+\dfrac{2}{5}$

 - Thay $x$ bởi $a,\ b,\ c.$

[dark templar]

Cho a, b, c>0. Tìm GTLN của: $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

Đặt $P=\sum \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}$

 

Biến đổi $\frac{1}{2}-\frac{a(b+c)}{a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}=\frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+(b+c)^{2})}$

 

Do đó $3-2P=\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}$.Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}\geqslant \frac{3}{5}$

 

Đặt $x=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}$ thì $x,y,z>0$.BĐT cần chứng minh tương đương với $\sum \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}\geqslant \frac{3}{5}$

 

Theo C-S:

$$\sum \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}\geqslant \frac{(x+y+z-3)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}$$

 

Ta chỉ cần chứng minh:

$$\frac{(x+y+z-3)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geqslant \frac{3}{5}\Leftrightarrow \left ( \sum x \right )^{2}-15\sum x+3\sum xy+18\geqslant 0$$

 

Mặt khác,theo BĐT Schur:

$$\frac{(a+b)(b+c)}{ac}+\frac{(b+c)(c+a)}{ab}+\frac{(c+a)(a+b)}{bc}\geqslant 2\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right ) \Leftrightarrow \sum xy \geqslant 2\sum x$$

 

Do đó:

$$\left ( \sum x \right )^{2}-15\sum x+3\sum xy+18\geqslant \left ( \sum x \right )^{2}-9\sum x+18=\left ( \sum x -6\right )\left ( \sum x -3 \right )\geqslant 0$$ 

 

do $\sum x \geqslant 6$

 

Vậy $P \leqslant \frac{6}{5}$ .Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$.