Chủ đề này có 1 trả lời

[NoEmotion]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^2 +b^2 +c^2 +2abc = 1$

Chứng minh rằng: $a^3 +b^3+c^3 \geq \frac{3}{8}$

[dark templar]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^2 +b^2 +c^2 +2abc = 1$

Chứng minh rằng: $a^3 +b^3+c^3 \geq \frac{3}{8}$

Sử dụng AM-GM để hạ bậc $a^{3}+a^{3}+\frac{1}{8}\geqslant \frac{3}{2}a^{2}$,ta chỉ cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{3}{4}$

 

Từ điều kiện đề bài cho ,ta có:

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1-2abc=1-2\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}\geqslant 1-2\sqrt{\left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \right )^{3}}(*)$$

 

Đặt $t=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\left ( t>0 \right )$ thì:

$$(*)\Leftrightarrow 3t^{2}\geqslant 1-2t^{3}\Leftrightarrow \left ( t+1 \right )^{2}\left ( 2t-1 \right )\geqslant 0\Leftrightarrow t\geqslant \frac{1}{2}$$

 

Hay $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{3}{4}$.Ta có đpcm.