Chủ đề này có 1 trả lời

[the man]

Bài toán: Trong 1000 số tự nhiên đầu tiên, có bao nhiêu số biểu diễn được dưới dạng:

                $\left [ x \right ]+\left [ 2x \right ]+\left [ 4x \right ]+\left [ 6x \right ]+\left [ 8x \right ]$ với $x\in \mathbb{R}$

 

[viet nam in my heart]

 

Bài toán: Trong 1000 số tự nhiên đầu tiên, có bao nhiêu số biểu diễn được dưới dạng:

                $\left [ x \right ]+\left [ 2x \right ]+\left [ 4x \right ]+\left [ 6x \right ]+\left [ 8x \right ]$ với $x\in \mathbb{R}$

Giả sử $P(x)=\left [ x \right ]+\left [ 2x \right ]+\left [ 4x \right ]+\left [ 6x \right ]+\left [ 8x \right ]$

Đặt $x=m+n$ trong đó $m=\left [ x \right ], n= \{x\}$

Khi đó theo tính chất quen thuộc thì $P(x)=21m+P(n)$

Dễ thấy nếu $x\geq y>0$ thì $P(x) \geq P(y)$

Giờ ta sẽ xét các giá trị có thể nhận được của $P(n)$ theo $4$ khoảng của $n$ có độ lớn là $0,25$

Thật vậy:

TH1: Nếu $n<0,25$

Ta có: $[n]=0,[2n]=0,[4n]=0,[6n]\leq 1,[8n] \leq 1$

Suy ra $P(n) \leq 2$ 

TH2: Nếu $0,25 \geq n<0,5$

Ta có: $[n]=0,[2n]=0,[4n]\leq 1,[6n]\leq2 ,[8n] \leq 3$

Suy ra $P(n) \leq 6$

Và $P(n) \geq P(0,25)=4$

TH3: Nếu $0,5 \geq n<0,75$

Ta có: $[n]=0,[2n]\leq 1,[4n]\leq 2,[6n]\leq4 ,[8n] \leq 5$

Suy ra $P(n) \leq 12$

Và $P(n) \geq P(0,5)=10$

TH3: Nếu $0,75 \geq n<1$

Ta có: $[n]=0,[2n]\leq 1,[4n]\leq 3,[6n]\leq5 ,[8n] \leq 16$

Suy ra $P(n) \leq 16$

Và $P(n) \geq P(0,75)=14$

Kết hợp lại các điều trên thì $P(n) \in \{0,1,2,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16\}$

Từ đó với mọi $x$ nguyên dương thì số dư của $P(x)$ khi chia cho $21$ chỉ có thể là $0,1,2,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16$ ($13$ giá trị)

Điều kiện đủ thì xây dựng bằng cách chọn $n$ để có $P(n)$ là những số trên .

Do đó ta dễ dàng tính được trong $1000$ số tự nhiên đầu tiên chỉ có $620$ số có thể biểu diễn dưới dạng $ \left [ x \right ]+\left [ 2x \right ]+\left [ 4x \right ]+\left [ 6x \right ]+\left [ 8x \right ]$ với $x$ là một số thực

Mọi người kiểm tra hộ em với ạ. Dạo này em hay ngộ nhận với tính toán sai nhiều   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 05-04-2016 - 18:12