Chủ đề này có 2 trả lời

[thang1308]

1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=9, xyz\leq 0$ $\leq 0$.

Chứng minh rằng: $2(x+y+z)-xyz\leq 10$

2. Cho số thực $k\in (0,2015)$. Xét các số thực không âm x,y,x thỏa mãn x+y+z=1. Tùy theo k tìm GTLN của biểu thức: E=xy+yz+zx-kxyz

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 05-04-2016 - 17:28

[dark templar]

1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=9, xyz\leq 0$ $\leq 0$.

Chứng minh rằng: $2(x+y+z)-xyz\leq 10$

2. Cho số thực $k\in (0,2015)$. Xét các số thực không âm x,y,x thỏa mãn x+y+z=1. Tùy theo k tìm GTLN của biểu thức: E=xy+yz+zx-kxyz

Bài 1 này là VMO 2002,bạn có thể sử dụng Google để tìm lời giải.

 

Bài 2 này nếu đã biết tới BĐT Schur thì sẽ rất dễ dàng để xử lý.

Xét $q=ab+bc+ca,r=abc$ thì $0<q \leqslant \frac{1}{3}$ và $0 \leqslant r \leqslant \frac{1}{27}$

 

Theo Schur thì $r\geqslant \min \left \{ 0;\frac{4q-1}{9} \right \}$ nên ta sẽ xét 2 trường hợp:

 

$0<q \leqslant \frac{1}{4}:$ Khi này $r \geqslant 0$ nên $E \leqslant q \leqslant \frac{1}{4}$

 

$\frac{1}{4} \leqslant q \leqslant \frac{1}{3}:$ Khi này $r \geqslant \frac{4q-1}{9}$.Do đó $E \leqslant q-\frac{k(4q-1)}{9}=\frac{(9-4k)q}{9}+\frac{k}{9}$

 

Đến đây ta lại xét 2 trường hợp nhỏ là $0<k \leqslant \frac{9}{4}$ và $k>\frac{9}{4}$.

 

Với $0<k \leqslant \frac{9}{4}$ thì $E\leqslant \frac{\frac{9-4k}{3}+k}{9}=\frac{9-k}{27}$

 

Với $k>\frac{9}{4}$ thì $E\leqslant \frac{\frac{9-4k}{4}+k}{9}=\frac{1}{4}$

 

Như vậy ta có thể kết luận như sau:

 

Với $0<k \leqslant \frac{9}{4}$ thì $\max E=\frac{9-k}{27}$

Với $2015>k>\frac{9}{4}$ thì $\max E=\frac{1}{4}$

 

Nhận xét ngoài lề:

Ngoài ra ta còn có thể tìm GTNN của $E$ phụ thuộc vào $k$.Ở đây là link cho 1 topic tập hợp kết quả của các dạng toán này:

http://www.artofprob...about_abbccaabc

[thang1308]

cảm ơn bạn nhiều