Chủ đề này có 2 trả lời

[lenadal]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.

CMR

    $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

[toannguyenebolala]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.

CMR

    $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Một bài chứng minh AM-GM quen thuộc.

Ta có:$2\sqrt{a}+a^2\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3x=>2\sum \sqrt{a}\geq (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ac)=>\sum \sqrt{a}\geq \sum ab$ (điều cần chứng minh).

[ILuVT]

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$.

CMR

    $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$ 

do a,b,c > 0. áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương ta có:
$a^{2} + \sqrt{a} + \sqrt{a} \geq 3\sqrt{a^{3}}=3a\\ tương tự \Rightarrow b^{2} + \sqrt{b} + \sqrt{b} \geq 3b\\ c^{2} + \sqrt{c} + \sqrt{c} \geq 3c\\ cộng vế vs vế a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \geq 3(a+b+c)\\ \Rightarrow 2\sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{c}\geq 9 - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 9 - (a+b+c)^{2} + 2ab + 2bc + 2ac = 2ab + 2bc + 2ac$\\
chia 2 vế cho 2 => đpcm