Cho $x,y,z \in [0;1]$
C/m $\sqrt[3]{xyz} + \sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)} \leq 1$
C/m $\sqrt[3]{xyz} + \sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)} \leq 1$
Bắt đầu bởi Math Master, 07-04-2016 - 19:53
#1
Đã gửi 07-04-2016 - 19:53
Math Master
-
- Thành viên
-
- 245 Bài viết
Blue Sky
~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~
Imagination is more important than knowledge.
-Einstein-
#2
Đã gửi 07-04-2016 - 21:08
81NMT23
-
- Thành viên
-
- 61 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $x,y,z \in [0;1]$
C/m $\sqrt[3]{xyz} + \sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)} \leq 1$
Sử dụng BĐT Cauchy 3 số ta có:$\sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)}\leqslant \frac{1-x + 1-y + 1-z}{3}=1-\frac{x+y+z}{3}$
Mà $\frac{x+y+z}{3}\geqslant \sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow -\frac{x+y+z}{3}\leqslant-\sqrt[3]{xyz}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)}+\sqrt[3]{xyz}\leqslant 1-\frac{x+y+z}{3}++\sqrt[3]{xyz}\leqslant 1-\sqrt[3]{xyz}++\sqrt[3]{xyz}=1$(đpecm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=0 hoặc a=b=c=1
- chaubee2001 và NTA1907 thích
#3
Đã gửi 08-05-2021 - 16:08
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Mạnh hơn:
Cho $x,y,z \in [0;1]$
Chứng minh: $\sqrt{xyz} + \sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)} \leq 1$
Đơn giản là dùng bổ đề: Với $x \in [0;1]$ thì $\sqrt{t}\leqslant \sqrt[3]{t}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
