Chủ đề này có 1 trả lời

[lehakhiem212]

Chưng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

[dark templar]

Chưng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Theo BĐT Holder thì:

$$\left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \right )^{2}\left ( a\left ( b+c \right )+b(a+c)+c(a+b) \right )\geqslant (a+b+c)^{3}$$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$$\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{2(ab+bc+ca)}}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow a+b+c\geqslant ab+bc+ca$$

 

Mặt khác,ta có theo AM-GM:

$$4=a+b+c+abc \leqslant (a+b+c)+\frac{(a+b+c)^{3}}{27}\Leftrightarrow (x-3)(x^{2}+3x+36)\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 3$$

 

Trong đó $x=a+b+c>0$.

 

Ta có:

$4\left ( a+b+c \right )=(a+b+c+abc)(a+b+c)=2(ab+bc+ca)+\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+abc(a+b+c)$

$\geqslant 2(ab+bc+ca)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{a+b+c}$

 

Lại có theo BĐT Schur thì:

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant 2(ab+bc+ca)$$

 

Do đó:

$$4\left ( a+b+c \right )\geqslant 2(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a+b+c \geqslant ab+bc+ca$$

 

Vậy ta có đpcm.