Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+1)(b+1)(c+1)$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+1)(b+1)(c+1)$
#1
Đã gửi 08-04-2016 - 16:26
#2
Đã gửi 08-04-2016 - 19:53
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+1)(b+1)(c+1)$
Bài toán 1. Cho các số thực không âm $a;b;c$, ta luôn có bất đẳng thức đúng sau:
$$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}+a^{2}} \geq \dfrac{10}{(a+b+c)^{2}}$$
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min${$a;b;c$}. Lúc này, ta có các bất đẳng sau:
$$(a+\dfrac{c}{2})^{2}+(b+\dfrac{c}{2})^{2} \geq (a+0)^{2}+(b+0)^{2}=a^{2}+b^{2}$$
$$(a+\dfrac{c}{2})^{2} = a^{2}+ca+\dfrac{c^{2}}{4} \geq a^{2}+c^{2}$$
$$(b+\dfrac{c}{2})^{2} = b^{2}+bc+\dfrac{c^{2}}{4} \geq b^{2}+c^{2}$$
Do đó,
$$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}+a^{2}} \geq \dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^{2}+(b+\dfrac{c}{2})^{2}}+\dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^{2}}+\dfrac{1}{(b+\dfrac{c}{2})^{2}}$$
Đặt $\left\{\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}(x\geq0) \\ y=b+\dfrac{c}{2}(y\geq0) \end{matrix}\right.$. Lúc này, $x+y=a+b+c$.
Bây giờ ta cần chứng minh
$$\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geq \dfrac{10}{(x+y)^{2}}$$
Thật vậy,
Kết hợp sử dụng hai bất đẳng thức $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$, ta có:
$$\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)+ \dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right) \geq \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{8}.\dfrac{4}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{2}{xy}=\dfrac{5}{2}(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{2xy})\geq \dfrac{5}{2}.\dfrac{4}{(x+y)^{2}}=\dfrac{10}{(x+y)^{2}}$$.
Bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi một trong ba số $a;b;c$ bằng $0$ và hai số còn lại bằng nhau khác $0$.
Bài toán 2. Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A=(a+1)(b+1)(c+1)$$
Lời giải. Ta có:
$$A=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geq 0+1+a+b+c+1=a+b+c+2$$
Áp dụng vào bài toán. Theo bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:
$$P \geq \dfrac{10}{(a+b+c)^{2}}+\dfrac{5}{2}.(a+b+c+2)=\dfrac{10}{(a+b+c)^{2}}+\dfrac{5}{4}(a+b+c)+\dfrac{5}{4}(a+b+c)+5 \geq 3.\sqrt[3]{\dfrac{10.5.5}{4.4}}+5=\dfrac{15}{2}+5=\dfrac{25}{2}$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\dfrac{25}{2}$ khi và chỉ khi $(a;b;c)=(0;1;1);(1;0;1);(1;1;0)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 08-04-2016 - 20:08
- dark templar, tpdtthltvp, PlanBbyFESN và 6 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh