Chủ đề này có 2 trả lời

[bvd]

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b}=\frac{3}{2}$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=ab^2+bc^2+ca^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvd: 08-04-2016 - 18:24

[81NMT23]

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b}=\frac{3}{2}$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=ab^2+bc^2+ca^2$

Từ giả thiết áp dụng BDDT Bunhiacopski dạng cộng mẫu Engel ta có:

$\frac{3}{2}=\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a+b+c)}\Rightarrow 3(a+b+c)\geqslant (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} \geqslant [(\frac{a+b+c}{3})^{2}]^{2}\Rightarrow 3\geqslant a+b+c$ và $3\geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cachy 2 số và những điều kiện đã chứng minh:

$\Rightarrow 9\geqslant (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{3}+ac^{2})+(b^{3}+ba^{2})+(c^{3}+cb^{2}) +ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geqslant \geqslant 2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}=3(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\Rightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leqslant 3$

Vậy max P = 3 khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 08-04-2016 - 22:35

[dark templar]

Từ giả thiết áp dụng BDDT Bunhiacopski dạng cộng mẫu Engel ta có:

$\frac{3}{2}=\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a+b+c)}\Rightarrow 3(a+b+c)\geqslant (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} \geqslant [(\frac{a+b+c}{3})^{2}]^{2}\Rightarrow 3\geqslant a+b+c$ và $3\geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cachy 2 số và những điều kiện đã chứng minh:

$\Rightarrow 9\geqslant (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{3}+ac^{2})+(b^{3}+ba^{2})+(c^{3}+cb^{2}) +ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geqslant \geqslant 2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}=3(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\Rightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leqslant 3$

Vậy max P = 3 khi a=b=c=1

Đề chỉ cho $a,b,c$ là số thực chứ không có dương nên không áp dụng AM-GM và C-S kiểu này được :|