Bài toán. Cho $\triangle ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. $AO$ cắt $BC$ tại $E. AH$ cắt $BC$ tại $D. M$ là trung điểm $BC$. Trung trực $DE$ cắt $AM$ tại $P$. Kẻ $AH\perp EP. HD$ cắt trung trực $DE$ tại $Q$. Kẻ $AS\perp QE$. Chứng minh rằng: $SE$ là phân giác $\angle BSC$.
Post 40.png
Hình vẽ bài toán
Bài này khá quen sử dụng định lý về chùm điều hòa. Có lẽ nếu sử dụng công cụ của THCS sẽ khó giải quyết nó. Sau đây là lời giải
Gọi $F,G$ lần lượt là hình chiếu của $E$ lên $CA,AB$. $AS$ cắt $BC$ tại $T$
Do $AE,AD$ đẳng giác nên dễ thấy $GF \perp AD$ suy ra $GF \parallel BC$.
$QS,QH$ đối xứng nhau qua trung trực của $DE$ nên dễ chứng minh được $D,P,S$ thẳng hàng
Dễ thấy $A,H,G,D,E,F,S$ cùng thuộc một đường tròn
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $P$ là trung điểm của $GF$
Từ đó ta có: $D(GFSE)=-1 \Rightarrow D(GFSE)=-1 \Rightarrow (BCTE) = -1 \Rightarrow S(BCTE) = -1 \Rightarrow S(BCAE)=-1$
Mà $SA \perp SE$ nên theo tính chất chùm điều hòa suy ra $SE$ là phân giác trong góc $BSC$