Chủ đề này có 2 trả lời

[baopbc]

Bài toán. Cho $\triangle ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. $AO$ cắt $BC$ tại $E. AH$ cắt $BC$ tại $D. M$ là trung điểm $BC$. Trung trực $DE$ cắt $AM$ tại $P$. Kẻ $AH\perp EP. HD$ cắt trung trực $DE$ tại $Q$. Kẻ $AS\perp QE$. Chứng minh rằng: $SE$ là phân giác $\angle BSC$.

Hình vẽ bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 08-04-2016 - 20:29

[tquangmh]

Bài toán. Cho $\triangle ABC$ có $O,H$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. $AO$ cắt $BC$ tại $E. AH$ cắt $BC$ tại $D. M$ là trung điểm $BC$. Trung trực $DE$ cắt $AM$ tại $P$. Kẻ $AH\perp EP. HD$ cắt trung trực $DE$ tại $Q$. Kẻ $AS\perp QE$. Chứng minh rằng: $SE$ là phân giác $\angle BSE$.

Post 40.png

Hình vẽ bài toán

 

Hình như đề có gì đó sai sai anh ơi !  Hình như là góc BSC phải ko anh !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 29-10-2016 - 19:05

[viet nam in my heart]

Bài toán. Cho $\triangle ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. $AO$ cắt $BC$ tại $E. AH$ cắt $BC$ tại $D. M$ là trung điểm $BC$. Trung trực $DE$ cắt $AM$ tại $P$. Kẻ $AH\perp EP. HD$ cắt trung trực $DE$ tại $Q$. Kẻ $AS\perp QE$. Chứng minh rằng: $SE$ là phân giác $\angle BSC$.

Post 40.png

Hình vẽ bài toán

Bài này khá quen sử dụng định lý về chùm điều hòa. Có lẽ nếu sử dụng công cụ của THCS sẽ khó giải quyết nó. Sau đây là lời giải

Gọi $F,G$ lần lượt là hình chiếu của $E$ lên $CA,AB$. $AS$ cắt $BC$ tại $T$

Do $AE,AD$ đẳng giác nên dễ thấy $GF \perp AD$ suy ra $GF \parallel BC$. 

$QS,QH$ đối xứng nhau qua trung trực của $DE$ nên dễ chứng minh được $D,P,S$ thẳng hàng

Dễ thấy $A,H,G,D,E,F,S$ cùng thuộc một đường tròn

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $P$ là trung điểm của $GF$

Từ đó ta có: $D(GFSE)=-1 \Rightarrow D(GFSE)=-1 \Rightarrow (BCTE) = -1 \Rightarrow S(BCTE) = -1 \Rightarrow S(BCAE)=-1$

Mà $SA \perp SE$ nên theo tính chất chùm điều hòa suy ra $SE$ là phân giác trong góc $BSC$