Chủ đề này có 4 trả lời

[Math Master]

Cho $a \geq b \geq c > 0$.Chứng minh rằng

$\frac{a^3b}{a^3+b^3} + \frac{b^3c}{b^3+c^3} + \frac{c^3a}{c^3+a^3} \geq \frac{ab^3}{a^3+b^3} + \frac{bc^3}{a^3+b^3} + \frac{ca^3}{c^3+a^3}$

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a \geq b \geq c > 0$.Chứng minh rằng

$\frac{a^3b}{a^3+b^3} + \frac{b^3c}{b^3+c^3} + \frac{c^3a}{c^3+a^3} \geq \frac{ab^3}{a^3+b^3} + \frac{bc^3}{a^3+b^3} + \frac{ca^3}{c^3+a^3}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2-b^2)}{a^{3}+b^3}\geq 0\Leftrightarrow\sum \frac{ab(a-b)}{a^{2}-ab+b^2}\leq \sum \frac{ab(a-b)}{ab}=a-b+b-c+c-a=0$

Đề có sai không nhỉ ? hay là mình sai ?

[dark templar]

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2-b^2)}{a^{3}+b^3}\geq 0\Leftrightarrow\sum \frac{ab(a-b)}{a^{2}-ab+b^2}\leq \sum \frac{ab(a-b)}{ab}=a-b+b-c+c-a=0$

Đề có sai không nhỉ ? hay là mình sai ?

Đề ở trên đúng rồi Cách làm của HappyLife sai ở phân thức $\frac{ca(c-a)}{c^2+a^2-ca} \geqslant c-a$ do $c-a \leqslant 0$

 

Biến đổi thuần Đại Số ,ta sẽ có BĐT tương đương với:

$$\sum \frac{ab(a-b)}{a^{2}+b^{2}-ab}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{a(a-b)(b-c)(a^{2}-bc)}{(a^{2}-ab+b^{2})(c^{2}+a^{2}-ca)}+\frac{c(b-c)(a-b)(ab-c^{2})}{(b^{2}+c^{2}-bc)(c^{2}+a^{2}-ac)}\geqslant 0$$

 

BĐT trên luôn đúng do $a \geqslant b \geqslant c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-04-2016 - 16:47

[hoctrocuaHolmes]

Đề ở trên đúng rồi Cách làm của HappyLife sai ở phân thức $\frac{ca(c-a)}{c^2+a^2-ca} \geqslant c-a$ do $c-a \leqslant 0$

 

Biến đổi thuần Đại Số ,ta sẽ có BĐT tương đương với:

$$\sum \frac{ab(a-b)}{a^{3}+b^{3}}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{a(a-b)(b-c)(a^{2}-bc)}{(a^{2}-ab+b^{2})(c^{2}+a^{2}-ca)}+\frac{c(b-c)(a-b)(ab-c^{2})}{(b^{2}+c^{2}-bc)(c^{2}+a^{2}-ac)}\geqslant 0$$

 

BĐT trên luôn đúng do $a \geqslant b \geqslant c$.

Quả đúng là em hơi hấp tấp,không để ý đến cái điều kiện,xấu hổ ghê 

Anh fix lại chỗ màu đỏ đi ạ,phải là $a^2-ab+b^2$ .

Cho em hỏi thêm làm sao anh phân tích được 2 tổng chuẩn như vậy ạ,em quy đồng lên thì ra được $\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{\prod (a^2-ab+b^2)}\geq 0$ cũng đúng cơ mà hơi tốn sức

[dark templar]

Quả đúng là em hơi hấp tấp,không để ý đến cái điều kiện,xấu hổ ghê 

Anh fix lại chỗ màu đỏ đi ạ,phải là $a^2-ab+b^2$ .

Cho em hỏi thêm làm sao anh phân tích được 2 tổng chuẩn như vậy ạ,em quy đồng lên thì ra được $\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{\prod (a^2-ab+b^2)}\geq 0$ cũng đúng cơ mà hơi tốn sức

Em giữ nguyên 2 cái phân thức đầu,chỉ cần phân tích $\frac{ca(c-a)}{c^2+a^2-ca}$ với để ý là $c-a=(c-b)+(b-a)$,từ đó em nhóm các phân thức chứa $a-b$ và $b-c$ lại sẽ ra như trên