Chủ đề này có 1 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm  $H(2;1)$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I(1;0)$. Trung điểm BC nằm trên đường thẳng có phương trình $x-2y-1=0$. Tìm tọa độ đỉnh $B,C$ biết đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$ đi qua điểm $E(6;-1)$ và hoành độ điểm B nhỏ hơn $4$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 09-04-2016 - 21:40

[vkhoa]

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm  $H(2;1)$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I(1;0)$. Trung điểm BC nằm trên đường thẳng có phương trình $x-2y-1=0$. Tìm tọa độ đỉnh $B,C$ biết đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$ đi qua điểm $E(6;-1)$ và hoành độ điểm B nhỏ hơn $4$ 

Gọi D là trung điểm BC có tọa độ $(2y_D +1, y_D)$
gọi F là điểm đối xứng với H qua D $\Rightarrow$ F=$(4y_D, 2y_D -1)$
ta có BHCF là hình bình hành
$\Rightarrow $BF //HC, CF //HB$\Rightarrow BF\perp BA, CF\perp CA$
$\Rightarrow$AF là đường kính của đ tròn (ABC)
có I(1, 0) thuộc (d):x -2y -1=0
$\Rightarrow$vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của BC =(1, -2)
$\Rightarrow$ pt BC là
$\left\{\begin{matrix}x =2y_D +1 +t\\y =y_D -2t\end{matrix}\right.$
gọi E' là điểm đối xứng với E qua BC, EE' cắt BC tại G
có $EG \perp BC\Rightarrow1.(x_G -6) -2(y_G +1) =0$
$\Leftrightarrow(2y_D -5 +t_G) -2(y_D +1 -2t_G) =0$
$\Rightarrow t_G=\frac75$
$\Rightarrow G =(2y_D +\frac{12}5, y_D -\frac{14}5)$
$\Rightarrow E'=(4y_D -\frac65, 2y_D -\frac{23}5)$
ta có đường tròn ngoại tiếp BHC đối xứng đ tròn ngoại tiếp ABC qua BC và E thuộc (HBC)$\Rightarrow$ E' thuộc (ABC)
$\Rightarrow IE' =IF\Leftrightarrow IE'^2 =IF^2 $
$\Leftrightarrow 20y_D^2 -36y_D +26 =20y_D^2 -12y_D +2$
$\Leftrightarrow y_D=1$
$\Rightarrow IF^2 =10$
pt BC là $\left\{\begin{matrix}x =3 +t\\y =1 -2t\end{matrix}\right.$
mà IB =IF $\Rightarrow t_B =\pm1$
$\Rightarrow B=(2, 3)$(thỏa) hoặc $B=(4, -1)$ (loại)
$\Rightarrow C=(4, -1)$