Chủ đề này có 2 trả lời

[anhtukhon1]

BÀI TOÁN Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$. Tìm Min $P=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}+\frac{z^{2}x^{2}}{y(x^{2}+z^{2})}+\frac{x^{2}y^{2}}{z(x^{2}+y^{2})}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 10-04-2016 - 15:42

[dark templar]

BÀI TOÁN Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$. Tìm Min $P=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}+\frac{z^{2}x^{2}}{y(x^{2}+z^{2})}+\frac{x^{2}y^{2}}{z(x^{2}+y^{2})}$

Đổi biến $(a,b,c)=\left (\frac{1}{x};\frac{1}{y},\frac{1}{z} \right)$ thì $a^2+b^2+c^2=1$ và $a,b,c>0$.Khi đó $P=\sum_{cyc} \frac{a}{b^2+c^2}=\sum_{a,c,b}\frac{a}{1-a^2}$.

 

Ta sẽ chứng minh rằng :

$$\frac{a}{1-a^{2}}\geqslant \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2},\forall a \in (0,1)\Leftrightarrow a\left ( a-\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}\left ( a+\frac{2}{\sqrt{3}} \right )\geqslant 0$$

 

BĐT trên luôn đúng với mọi $a \in (0,1)$.

 

Do đó $P \geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$.

 

Nhận xét ngoài lề:

Bài toán gốc của bài này là chứng minh BĐT $\sum \frac{a}{b^2+c^2} \geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ với $a,b,c>0$.Các bạn có thể xem lời giải trực tiếp không qua thuần nhất ở http://diendantoanho...qrt32/?p=624929 (phần Cách 2)

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-04-2016 - 21:38

[mathstu]

bđt mạnh hơn của  dark templar là :$\sum \frac{a}{b^2+c^2} \geqslant \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{11(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca) )}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathstu: 10-04-2016 - 21:45