Chủ đề này có 2 trả lời

[huya1k43pbc]

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.CMR \sum \frac{ab}{\sqrt{c}+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{4\sqrt{3}}$

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.CMR \sum \frac{ab}{\sqrt{c}+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{4\sqrt{3}}$

Chia cả hai vế với $\sqrt{3}$, ta cần chứng minh:

$\sum \frac{ab}{\sqrt{3c}+3}\leq \frac{1}{12}$

Để cho dễ nhìn, ta đặt:

$\left\{\begin{matrix} 3a=x & & \\ 3b=y & & \\ 3c=z & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=3$

Vậy, BĐT trở thành chứng minh:

$\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \frac{3}{4}$

Ta sẽ chứng minh:

$\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \sum \frac{xy}{z+3}$, thật vậy:

$\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \sum \frac{xy}{z+3}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{z\left ( \sqrt{z} +3 \right )}\leq \sum \frac{1}{z\left ( z+3 \right )}$

Xét hiệu:

$\sum \frac{1}{z\left ( z+3 \right )}-\sum \frac{1}{z\left ( \sqrt{z}+3 \right )}=\sum \frac{1-\sqrt{z}}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )}$

Giả sử $x\geq y\geq z$, dễ thấy hai bộ số sau đơn điệu cùng chiều:

$\left ( 1-\sqrt{z};1-\sqrt{y};1-\sqrt{x} \right )$ và $\left ( \frac{1}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )};\frac{1}{\sqrt{y}\left ( y+3 \right )\left ( \sqrt{y}+3 \right )};\frac{1}{\sqrt{x}\left ( x+3 \right )\left ( \sqrt{x}+3 \right )} \right )$

Áp dụng Chebyshev's Inequality ta có:

$\sum \frac{1-\sqrt{z}}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )}\geq \left ( 3-\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z} \right ).\sum \frac{1}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )}\geq 0$

Vậy $\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \sum \frac{xy}{z+3}$, do đó, ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{ab}{c+3}\leq \frac{3}{4}$, thật vậy:

$\sum \frac{ab}{c+3}=\sum \frac{ab}{\left ( a+c \right )+\left ( b+c \right )}\leq \frac{1}{4}\left (\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b} \right )=\frac{1}{4}\left ( a+b+c \right )=\frac{3}{4}\rightarrow Q.E.D$

[huya1k43pbc]

Chia cả hai vế với $\sqrt{3}$, ta cần chứng minh:

$\sum \frac{ab}{\sqrt{3c}+3}\leq \frac{1}{12}$

Để cho dễ nhìn, ta đặt:

$\left\{\begin{matrix} 3a=x & & \\ 3b=y & & \\ 3c=z & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=3$

Vậy, BĐT trở thành chứng minh:

$\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \frac{3}{4}$

Ta sẽ chứng minh:

$\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \sum \frac{xy}{z+3}$, thật vậy:

$\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \sum \frac{xy}{z+3}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{z\left ( \sqrt{z} +3 \right )}\leq \sum \frac{1}{z\left ( z+3 \right )}$

Xét hiệu:

$\sum \frac{1}{z\left ( z+3 \right )}-\sum \frac{1}{z\left ( \sqrt{z}+3 \right )}=\sum \frac{1-\sqrt{z}}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )}$

Giả sử $x\geq y\geq z$, dễ thấy hai bộ số sau đơn điệu cùng chiều:

$\left ( 1-\sqrt{z};1-\sqrt{y};1-\sqrt{x} \right )$ và $\left ( \frac{1}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )};\frac{1}{\sqrt{y}\left ( y+3 \right )\left ( \sqrt{y}+3 \right )};\frac{1}{\sqrt{x}\left ( x+3 \right )\left ( \sqrt{x}+3 \right )} \right )$

Áp dụng Chebyshev's Inequality ta có:

$\sum \frac{1-\sqrt{z}}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )}\geq \left ( 3-\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z} \right ).\sum \frac{1}{\sqrt{z}\left ( z+3 \right )\left ( \sqrt{z}+3 \right )}\geq 0$

Vậy $\sum \frac{xy}{\sqrt{z}+3}\leq \sum \frac{xy}{z+3}$, do đó, ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{ab}{c+3}\leq \frac{3}{4}$, thật vậy:

$\sum \frac{ab}{c+3}=\sum \frac{ab}{\left ( a+c \right )+\left ( b+c \right )}\leq \frac{1}{4}\left (\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b} \right )=\frac{1}{4}\left ( a+b+c \right )=\frac{3}{4}\rightarrow Q.E.D$

Cách khác: $\sum \frac{ab\sqrt{3}}{\sqrt{c}+\sqrt{3}}=\sum \frac{ab(\sqrt{c}+\sqrt{3})-ab\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{3}}=\sum ab-abc\left ( \sum \frac{1}{c+\sqrt{3c}} \right )\leq \sum ab-\frac{9abc}{4}(cosi swart)\leq \frac{1}{4}(schur)$