Chủ đề này có 3 trả lời

[dinhkhanhly]

Với $a,b,c> 0$ , chứng minh rằng :$\sqrt[4]{\frac{a}{a+b}}+\sqrt[4]{\frac{b}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{^{\sqrt[4]{2}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhkhanhly: 11-04-2016 - 15:05

[phamngochung9a]

Với $a,b,c> 0$ , chứng minh rằng :$\sqrt[4]{\frac{a}{a+b}}+\sqrt[4]{\frac{b}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{^{\sqrt[4]{2}}}$

Đây chỉ là bất đẳng thức khá lỏng lẻo của BĐT sau:

          $\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Ta có:

$VT^{2}=\left ( \sqrt[4]{\frac{a}{a+b}}+\sqrt[4]{\frac{b}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{c}{c+a}} \right )^{2}\\\leq 3\left ( \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}} \right )$

 

Ta cần chứng minh:

$P=\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\\\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{1+\frac{b}{a}}}+\sqrt{\frac{1}{1+\frac{c}{b}}}+\sqrt{\frac{1}{1+\frac{a}{c}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đổi biến:$\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}=x^{2} & & \\ \frac{c}{b}=y^{2} & & \\ \frac{a}{c}=z^{2} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1$

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $xy\leq 1$

$\Rightarrow P\leq \sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq 2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}$

 

Vậy cần chứng minh: $2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\\\Leftrightarrow \left ( 3-\frac{2}{1+z} \right )^{2}\geq \frac{8z}{1+z}$

 

$\Leftrightarrow (z-1)^{2}\geq 0$               (đúng )

 

Vậy $VT^{2}\leq 3P\leq \frac{9}{\sqrt{2}}\Rightarrow VT\leq \frac{3}{\sqrt[4]{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 11-04-2016 - 19:33

[dinhkhanhly]

Không mất tính tổng quát, giả sử $xy\leq 1$

$\Rightarrow P\leq \sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq 2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}$

 

Mình không hiểu chỗ này lắm bạn ạ. Bạn giải thích cặn kẽ cho mình được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhkhanhly: 11-04-2016 - 20:47

[phamngochung9a]

Không mất tính tổng quát, giả sử $xy\leq 1$

$\Rightarrow P\leq \sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq 2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}$

 

Mình không hiểu chỗ này lắm bạn ạ. Bạn giải thích cặn kẽ cho mình được không?

Ta có bổ đề: 

$\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ với mọi $x,y$ không âm thỏa mãn $xy\leq 1$

Chứng minh:

$\left (\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\right )^{2}\leq 2.\left ( \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}} \right )$

Vậy cần chứng minh: 

$\frac{2}{1+xy}\geq \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{\left ( x-y \right )^{2}\left ( 1-xy \right )}{\left ( 1+xy \right )\left ( 1+x^{2} \right )\left ( 1+y^{2} \right )}\geq 0$ (đúng)