Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
$\frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq 5$
CMR: $\frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq 5$
Bắt đầu bởi nguyenhongsonk612, 12-04-2016 - 19:28
#1
Đã gửi 12-04-2016 - 19:28
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 12-04-2016 - 19:53
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
$\frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq 5$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $a^5+a^2+a^2\geq 3a^3\Rightarrow \sum a^5+2\sum a^2\geq 3\sum a^3$
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có $a^5+b^5+c^5\geq \dfrac{1}{3}(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)$
Suy ra :
$2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)\geq \left ( 3+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} \right )(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow \frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}\geq 3+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq 3+\dfrac{(a+b+c)^2}{9}$
Nên ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{(a+b+c)^2}{9}+\dfrac{9}{(a+b+c)^2}\geq 2$
Đây chính là bất đẳng thức AM-GM 
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 12-04-2016 - 19:54
- nguyenhongsonk612, PlanBbyFESN, NTA1907 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 13-04-2016 - 11:25
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $a^5+a^2+a^2\geq 3a^3\Rightarrow \sum a^5+2\sum a^2\geq 3\sum a^3$
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có $a^5+b^5+c^5\geq \dfrac{1}{3}(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)$
Suy ra :
$2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)\geq \left ( 3+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} \right )(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow \frac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}\geq 3+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq 3+\dfrac{(a+b+c)^2}{9}$
Nên ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{(a+b+c)^2}{9}+\dfrac{9}{(a+b+c)^2}\geq 2$
Đây chính là bất đẳng thức AM-GM
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài này anh có ý tưởng giống hệt em luôn, nhưng ở chỗ C/m $3(a^5+b^5+c^5)\geq (a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)$ anh dùng $AM-GM$ bởi không biết đến BĐT Chebyshev 
. Nếu em rảnh thì phân tích luôn ý tưởng để giải bài này nhé!
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
