Chủ đề này có 7 trả lời

[chaubee2001]

1.Cho $x,y>0$. Hãy tìm điều kiện nữa của $x,y$ và so sánh $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ và $\frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ ( đề khoai qá mức )
(theo máy tính thỳ hình như là "$\geq$")
2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3 \geq \frac{3}{8}$
giúp mình nha =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 14-04-2016 - 06:57

[kieutuanduc]

1.Cho $x,y>0$. Hãy tìm điều kiện nữa của $x,y$ và so sánh $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ và $\frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ ( đề khoai qá mức )
(theo máy tính thỳ hình như là "$\geq$")
2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$
giúp mình nha =))

đề bài phần 2 đúng chưa bạn mình thấy đâu có c

[leminhnghiatt]

1.Cho $x,y>0$. Hãy tìm điều kiện nữa của $x,y$ và so sánh $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ và $\frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ ( đề khoai qá mức )
(theo máy tính thỳ hình như là "$\geq$")
2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$
giúp mình nha =))

Ở đây

[manhbbltvp]

đề phần 2 sai 

[NTA1907]

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3 \geq \frac{3}{8}$
giúp mình nha =))

Đề mình tự chỉnh, không biết đúng không?

Đầu tiên ta cm bđt sau với $a,b,c>0$:

$\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+\frac{b}{a}} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

Đặt $\frac{b}{a}=\frac{yz}{x^{2}}, \frac{c}{b}=\frac{zx}{y^{2}}, \frac{a}{c}=\frac{xy}{z^{2}}$

Khi đó bđt cần cm tương đương với:

$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng hệ quả Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(x^{2}+yz)^{2}+(y^{2}+zx)^{2}+(z^{2}+xy)^{2}}$

Như vậy ta chỉ cần cm:

$\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(x^{2}+yz)^{2}+(y^{2}+zx)^{2}+(z^{2}+xy)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}+5x^{2}y^{2}+5y^{2}z^{2}+5z^{2}x^{2}\geq 6xyz(x+y+z)$

Bđt này có thể cm dễ dàng bằng AM-GM:

$VT\geq 6(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})\geq 6xyz(x+y+z)=VP$(đpcm)

 

Quay trở lại bài toán đã cho, theo AM-GM ta có:

$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}+\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a}{a+b} \right )^{2}$

Thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta được:

$2\left [ \sum (\frac{a}{a+b})^{3} \right ]+\frac{3}{8}\geq \frac{3}{2}\left [ \sum (\frac{a}{a+b})^{2} \right ]\geq \frac{3}{2}.\frac{3}{4}=\frac{9}{8}$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

Spoiler

Bài này hình như nằm trong đề thi chọn đội tuyển hsg quốc gia Hà Tĩnh thì phải...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 13-04-2016 - 21:51

[chaubee2001]

1.Cho $x,y>0$. Hãy tìm điều kiện nữa của $x,y$ và so sánh $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ và $\frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ ( đề khoai qá mức )
(theo máy tính thỳ hình như là "$\geq$")
2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{8}$
giúp mình nha =))

đề bài e viết nhầm =))
đề câu 2 phải là $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3 \geq \frac{3}{8}$
cảm ơn anh NTA1907, nhưng bài này không cần qá dài như vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 14-04-2016 - 06:56

[NTA1907]

đề bài e viết nhầm =))
đề câu 2 phải là $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3 \geq \frac{3}{8}$
cảm ơn anh NTA1907, nhưng bài này không cần qá dài như vậy

Thực ra anh cũng có một cách làm ngắn hơn cách trên nữa, nhưng anh sẽ để dành lời giải này cho chuyên đề bđt sắp tới của anh. Mong nhận được nhiều sự ủng hộ từ mọi người...

[NTA1907]

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3 \geq \frac{3}{8}$
giúp mình nha =))

Bài toán 8 Cách 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 17-04-2016 - 11:31