EGMO 2016
Ngày 1. (12/04/2016)Bài 1. Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$$\min_{i = 1, \cdots , n} (x_{i}^{2} + x_{i + 1}^{2}) \le \max_{j = 1, \cdots , n} (2x_{j}x_{j + 1})$$
với quy ước $x_{n + 1} = x_{1}$
Bài 2. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp, và các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $X$. Gọi $C_{1}, D_{1}$ và $M$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $CX, DX$ và $CD$. Đường thẳng $AD_{1}$ và $BC_{1}$ giao nhau tại $Y$ và đường $MY$ giao đường chéo $AC$ và $BD$ lần lượt ở hai điểm khác nhau $E$ và $F$. Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ tiếp xúc với đường tròn $(EFX)$.
Bài 3. Cho $m$ là một số nguyên dương. Xét bảng $4m \times 4m$ gồm các ô vuông đơn vị. Hai ô vuông được gọi là 'có quan hệ' với nhau nếu cùng chung một cột hoặc một hàng (không có ô nào quan hệ với chính nó). Một số ô đơn vị được tô màu xanh sao cho mọi ô vuông đơn vị đều có quan hệ với ít nhất hai ô màu xanh. Xác định giá trị nhỏ nhất của các ô màu xanh.
Ngày 2. (13/04/2016)
Bài 4. Cho hai đường tròn $(\omega_{1})$ và $(\omega_{2})$ bán kính bằng nhau cắt nhau tại hai điểm phân biệt $X_{1}, X_{2}$ và đường tròn $(\omega)$ tiếp xúc ngoài với $(\omega_{1})$ tại $T_{1}$ và tiếp xúc trong với $(\omega_{2})$ tại $T_{2}$. Chứng minh rằng $X_{1}T_{1}$ giao với $X_{2}T_{2}$ tại một điểm nằm trên $(\omega)$.
Bài 5. Cho $k$ và $n$ là các số nguyên sao cho $2\le k$ và $k\le n\le 2k - 1$. Ta phủ lên bảng vuông $n\times n$ bằng các mảnh hình chữ nhật kích thước $1\times k$ hoặc $k\times 1$ (Mỗi mảnh như vậy phủ được $k$ ô đơn vị và không có hai mảnh nào trùng nhau). Làm vậy cho đến khi không thực hiện được nữa. Với mỗi $k$ và $n$ cho trước như vậy, hãy xác định số mảnh nhỏ nhất để thực hiện.
Bài 6. Cho $S$ là tập hợp các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{4}$ có các ước thuộc $n^{2} + 1, n^{2} + 2, \cdots n^{2} + 2n$. Chứng minh rằng có vô hạn giá trị $n$ có dạng $7k, 7k + 1, 7k + 2, 7k + 5, 7k + 6$ và không có phần tử nào dạng $7k + 3$ hoặc $7k + 4$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 14-04-2016 - 18:32