Chủ đề này có 5 trả lời

[happypolla]

giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{y}=1& \\ y-\sqrt{z}=1& \\ z-\sqrt{x}=1& \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 17-04-2016 - 00:06

[Element hero Neos]

giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x-\sqrt{y}=1& \\ y-\sqrt{z}=1& \\ z-\sqrt{x}=1& \end{matrix}\right.$

Đặt

 $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=a\\ \sqrt{y}=b\\ \sqrt{z}=c \end{matrix}\right.$

Khi đó hệ trở thành 

$\left\{\begin{matrix} a^2-b=1 (1)\\ b^2-c=1(2)\\ c^2-a=1(3) \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ suy ra

$b=a^2-1$

Từ $(3)$ suy ra

$c=\sqrt{a+1}$

Thay vào $(2)$ được 

$(a^2-1)^2-\sqrt{a+1}=1$

$\Leftrightarrow a^4-2a^2=\sqrt{a+1}$

$\Leftrightarrow a^8-4a^6+4a^4=a+1$

$(a^2-a-1)(a^6+a^5-2a^4-a^3+b^2+1)=0$

$\Leftrightarrow a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Thay vào tìm ra 

$b=c=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

Vậy 

$(a,b,c)\in\left\{(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2},\frac{1\pm\sqrt{5}}{2},\frac{1\pm\sqrt{5}}{2})\right\}$

[hieuhanghai]

Xét $y> x\geq 0$ ta có: $x-\sqrt{y}<x-$\sqrt{x}$=> 1<x- $\sqrt{x}$=> 1<$x-(z-1)$(Do $\sqrt{x}$ =z-1)

=>$x>z$=>$\sqrt{x}>\sqrt{z}$=>z-$\sqrt{x}$ <z-$\sqrt{z}$=>1<z-$\sqrt{z}$

=>$z-\sqrt{z}=z-(y-1)>1 => z>y$ (Vô lý do y>x>z)

Tương tự ta sẽ C/m được y<x vô lý => y=x

Tương tự ta sẽ được x=y=z.

Mà hình như vô nghiệm thì phải. 

Bài của bạn  Element hero Neos sai ở chỗ: Chỉ xét 1 TH pt: 

 $(a^2-a-1)(a^6+a^5-2a^4-a^3+a^2+1)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 17-04-2016 - 10:08

[Dark Magician 2k2]

Xét $y> x\geq 0$ ta có: $x-\sqrt{y}<x-$\sqrt{x}$=> 1<x- $\sqrt{x}$=> 1<$x-(z-1)$(Do $\sqrt{x}$ =z-1)

=>$x>z$=>$\sqrt{x}>\sqrt{z}$=>z-$\sqrt{x}$ <z-$\sqrt{z}$=>1<z-$\sqrt{z}$

=>$z-\sqrt{z}=z-(y-1)>1 => z>y$ (Vô lý do y>x>z)

Tương tự ta sẽ C/m được y<x vô lý => y=x

Tương tự ta sẽ được x=y=z.

Mà hình như vô nghiệm thì phải. 

Bài của bạn  Element hero Neos sai ở chỗ: Chỉ xét 1 TH pt: 

 $(a^2-a-1)(a^6+a^5-2a^4-a^3+a^2+1)=0$

Cái này mình xử lý hộ Element hero Neos được không?

$TH_2:$

$a^6+a^5-2a^4-a^3+a^2+1=0$

Có: 

$\left\{\begin{matrix} a^6+1\geq 2a^3\\ a^5+a^3\geq 2a^4\\ a^2\geq 0 \end{matrix}\right.$

Do đó

$a^6+a^5-2a^4-a^3+a^2+1\geq 0$

Mà dấu $"="$ không xảy ra nên phương trình đó vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 17-04-2016 - 11:03

[happypolla]

Cái này mình xử lý hộ Element hero Neos được không?

$TH_2:$

$a^6+a^5-2a^4-a^3+a^2+1=0$

Có: 

$\left\{\begin{matrix} a^6+1\geq 2a^3\\ a^5+a^3\geq 2a^4\\ a^2\geq 0 \end{matrix}\right.$

Do đó

$a^6+a^5-2a^4-a^3+a^2+1\geq 0$

Mà dấu $"="$ không xảy ra nên phương trình đó vô nghiệm.

bạn nhầm rồi.$-a^3$ chứ không phải $a^3$

[Dark Magician 2k2]

bạn nhầm rồi.$-a^3$ chứ không phải $a^3$

Chỗ nào vậy bạn?