17 replies to this topic

[michealdzung]

Cho $a,b,c>0; abc=1; c\ge 1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+ab}}$.

Chứng minh sao mấy anh chị?

[nbat1101]

Cho $a,b,c>0; abc=1; c\ge 1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{\s sqrt{\frac{}{ qrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+ab$\sqrt{\frac{1}{1+a^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{1+b^{2}}}\leq \sqrt{\frac{\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}}{2}}= 2\sqrt{\frac{1}{1+ab}}= \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$

Chứng minh sao mấy anh chị?

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{2}$

suy ra $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$ (*)

abc=1 , c$\geq$1 nên ab$\leq 1$

Ta cần CM

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ (**)

Tương đương $\frac{2+a+b}{(1+a)(1+b)}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Tương đương $2+2\sqrt{ab} + (a+b)+(a+b)\sqrt{ab}\leq 2+2(a+b)+2ab$

<=>$(1-\sqrt{ab})2\sqrt{ab}+(a+b)(-1+\sqrt{ab})\leq 0$

<=>$(-1+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq 0$ (đúng vì $\sqrt{ab}-1 \leq 0$)

Áp dụng (*)(**) cho bài suy ra đpcm

Edited by nbat1101, 19-04-2016 - 17:43.

[michealdzung]

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{2}$

suy ra $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$ (*)

abc=1 , c$\geq$1 nên ab$\leq 1$

Ta cần CM

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ (**)

Tương đương $\frac{2+a+b}{(1+a)(1+b)}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Tương đương $2+2\sqrt{ab} + (a+b)+(a+b)\sqrt{ab}\leq 2+2(a+b)+2ab$

<=>$(1-\sqrt{ab})2\sqrt{ab}+(a+b)(-1+\sqrt{ab})\leq 0$

<=>$(-1+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq 0$ (đúng vì $1-\sqrt{ab}\leq 0$)

Áp dụng (*)(**) cho bài suy ra đpcm

Vẫn chưa hiểu cái (*) (**) kết hợp nhau như thế nào? Nhìn không ra ta!

[nbat1101]

Vẫn chưa hiểu cái (*) (**) kết hợp nhau như thế nào? Nhìn không ra ta!

Theo(**) ta có $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}$

Nên áp dụng (*) ta có $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \sqrt{\frac{\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}}{2}}=$\frac{2}{\sqrt{1+ab}}$ suy ra đpcm

Edited by nbat1101, 19-04-2016 - 17:25.

[hoduchieu01]

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{2}$

suy ra $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$ (*)

abc=1 , c$\geq$1 nên ab$\leq 1$

Ta cần CM

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ (**)

Tương đương $\frac{2+a+b}{(1+a)(1+b)}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Tương đương $2+2\sqrt{ab} + (a+b)+(a+b)\sqrt{ab}\leq 2+2(a+b)+2ab$

<=>$(1-\sqrt{ab})2\sqrt{ab}+(a+b)(-1+\sqrt{ab})\leq 0$

<=>$(-1+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq 0$ (đúng vì $1-\sqrt{ab}\leq 0$)

Áp dụng (*)(**) cho bài suy ra đpcm

phần bôi đỏ sai ngược dấu r

[hoduchieu01]

phần bôi đỏ sai ngược dấu r

phải sửa lại là vì ab bé hơn bằng nên $1-\sqrt{ab} \geq 0$ nên mới có vt nhở hơn bằng 0

[nbat1101]

phần bôi đỏ sai ngược dấu r

Có sai đâu bạn vì $ab\leq 1\rightarrow \sqrt{ab}\leq 1$ nên $\sqrt{ab}-1\leq0$ mình không hiểu sai chỗ nào

Edited by nbat1101, 19-04-2016 - 17:38.

[hoduchieu01]

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{2}$

suy ra $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$ (*)

abc=1 , c$\geq$1 nên ab$\leq 1$

Ta cần CM

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ (**)

Tương đương $\frac{2+a+b}{(1+a)(1+b)}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Tương đương $2+2\sqrt{ab} + (a+b)+(a+b)\sqrt{ab}\leq 2+2(a+b)+2ab$

<=>$(1-\sqrt{ab})2\sqrt{ab}+(a+b)(-1+\sqrt{ab})\leq 0$

<=>$(-1+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq 0$ (đúng vì $1-\sqrt{ab}\leq 0$)

Áp dụng (*)(**) cho bài suy ra đpcm

đoạn $đúng vì 1-\sqrt{ab} \leq 0 => \sqrt{ab}-1 \geq 0 \rightarrow Vt \geq 0 => vô lí$

[hoduchieu01]

Có sai đâu bạn vì $ab\leq 1\rightarrow \sqrt{ab}\leq 1$ nên $\sqrt{ab}-1\leq0$ mình không hiểu sai chỗ nào

bạn ghi ở trên 1-$\sqrt{ab} \leq 0$

[nbat1101]

đoạn $đúng vì 1-\sqrt{ab} \leq 0 => \sqrt{ab}-1 \geq 0 \rightarrow Vt \geq 0 => vô lí$

Tôi làm đúng r mà vì $\sqrt{ab}\leq 1$ mà

[nbat1101]

Vẫn chưa hiểu cái (*) (**) kết hợp nhau như thế nào? Nhìn không ra ta!

Mình sửa lại rồi, có hiểu k bạn

[hoduchieu01]

Tôi làm đúng r mà vì $\sqrt{ab}\leq 1$ mà

nhưng ghi sai ghi chỗ đúng vì $1-\sqrt{ab} \leq 0 $  là sai

[nbat1101]

nhưng ghi sai ghi chỗ đúng vì $1-\sqrt{ab} \leq 0 $  là sai

Sửa lại r mà @@

[michealdzung]

Theo(**) ta có $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}$

Nên áp dụng (*) ta có $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \sqrt{\frac{\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}}{2}}=$\frac{2}{\sqrt{1+ab}}$ suy ra đpcm

Bạn quy đồng kiểu gì mà được cái dấu = cuối cùng vậy? giúp cho trót luôn bạn! Thanks!

[michealdzung]

Sửa lại r mà @@

Không sao, chỗ đó nhìn vẫn hiểu!

[michealdzung]

Mình sửa lại rồi, có hiểu k bạn

Thôi, hiểu rồi, thì ra áp dụng trong dấu căn chứ không phải ở ngoài. Rối thật!!!!

Edited by michealdzung, 19-04-2016 - 18:02.

[nbat1101]

Bạn quy đồng kiểu gì mà được cái dấu = cuối cùng vậy? giúp cho trót luôn bạn! Thanks!

Edited by nbat1101, 19-04-2016 - 18:04.

[michealdzung]

 

Bạn quy đồng kiểu gì mà được cái dấu = cuối cùng vậy? giúp cho trót luôn bạn! Thanks!

 

Dấu đó là dấu $\le$ mới đúng bạn ơi! Vì áp dụng (*) mà!