Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$. Chứng minh $a+b+c>2\sqrt{abc}$
Chứng minh $a+b+c>2\sqrt{abc}$
Bắt đầu bởi Ankh, 19-04-2016 - 18:38
#2
Đã gửi 19-04-2016 - 18:56
PlanBbyFESN
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 637 Bài viết
Thiếu úy
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$. Chứng minh $a+b+c>2\sqrt{abc}$
$a+b+c>2\sqrt{abc}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+ a+b+c>6\sqrt{abc}$
AM-GM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ a+b+c\geq 6\sqrt[6]{a^{3}b^{3}c^{3}}=6\sqrt{abc}$
.......................................... $\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+ a+b+c> 6\sqrt{abc}$ (Không tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn đẳng thức)
- tpdtthltvp, Element hero Neos, chaubee2001 và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 19-04-2016 - 18:58
Minh Hieu Hoang
-
- Banned
-
- 307 Bài viết
Sĩ quan
giả sử điều cần cm đúng :
$\Rightarrow \sum a^2 +\sum2 ab > 4abc \Leftrightarrow 4\sqrt{abc} + \sum 2ab > 4abc \Leftrightarrow \sum ab > 2\sqrt{abc}(\sqrt{abc}-1)$
Mặt khác :
$2\sqrt{abc}(\sqrt{abc}-1)\leq 2abc$
cần cm: $\sum ab> 2abc \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{(abc)^2} > 2abc \Leftrightarrow 27(abc)^2> 8(abc)^3\Leftrightarrow 27> 8abc$ ( điều này đúng vì đk bài cho )
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
