Chủ đề này có 8 trả lời

[hien2000a]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 19-04-2016 - 22:06

[royal1534]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Ta sử dụng bổ đề sau:

Với $a,b,c$ dương ta có: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

BĐT trên $\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c) \geq 9abc$ :Đúng theo bđt AM-GM 

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

------------

Trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề trên ta có:

$3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}=\sqrt[3]{27(a+b)(b+c)(c+a)}=\sqrt[3]{3.9(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh $\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Áp dụng bđt AM-GM  ta có:

$VT=\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq \sqrt[3]{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-04-2016 - 23:32

[hien2000a]

Ta sử dụng bổ đề sau:

Với $a,b,c$ dương ta có: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

BĐT trên $\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c) \geq 9abc$ :Đúng theo bđt AM-GM 

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

------------

Trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề trên ta có:

$3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}=\sqrt[3]{27(a+b)(b+c)(c+a)}=\sqrt[3]{3.9(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh $\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Áp dụng bđt AM-GM  ta có:

$VT=\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq \sqrt[3]{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2(ab+bc+ca)} \geq \sqrt[3]{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

điều hành viên có thể làm chi tiết đợn này ? em không hiểu.

VT=3√3(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3√√ab+√bc+√ca)2(ab+bc+ca)≥3√(√ab+√bc+√ca)2(√ab+√bc+√ca)

[royal1534]

điều hành viên có thể làm chi tiết đợn này ? em không hiểu.

VT=3√3(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3√√ab+√bc+√ca)2(ab+bc+ca)≥3√(√ab+√bc+√ca)2(√ab+√bc+√ca)

 Đơn giản là ta có 2 bđt thế này:

$1. (a+b+c) \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

$2. 3(ab+bc+ca) \geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2$

Nhân lại 2 vế là được đpcm 

[hien2000a]

 Đơn giản là ta có 2 bđt thế này:

$1. (a+b+c) \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

$2. 3(ab+bc+ca) \geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2$

Nhân lại 2 vế là được đpcm 

cái dẳng thức ở giữa làm sao lam ra vậy ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hien2000a: 20-04-2016 - 22:20

[tquangmh]

cái dẳng thức ở giữa làm sao lam ra vậy ạ?

 

Dể hiểu mà bạn.

$(ab;bc;ca)\rightarrow (x;y;z)$ ($x;y;z$ dương)

Viết lại Bất đẳng thức : 

$3(x+y+z)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\Leftrightarrow (x+y+z)+2(x+y+z)\geq (x+y+z)+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\Leftrightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Trở về BĐT 1.

[hien2000a]

Dể hiểu mà bạn.

$(ab;bc;ca)\rightarrow (x;y;z)$ ($x;y;z$ dương)

Viết lại Bất đẳng thức : 

$3(x+y+z)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\Leftrightarrow (x+y+z)+2(x+y+z)\geq (x+y+z)+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\Leftrightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Trở về BĐT 1.

chỗ này cơ:

3√3(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3√√ab+√bc+√ca)2(ab+bc+ca)

[tquangmh]

chỗ này cơ:

3√3(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3√√ab+√bc+√ca)2(ab+bc+ca)

 

$3(a+b+c)\geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}$

$\Leftrightarrow 3(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}}$

 

Bạn nên coi kỹ nhé ! Chỗ VP mà bạn hỏi là số 2 trong khi anh royal1534 ghi là mũ 2

[tquangmh]

 

$VT=\sqrt[3]{3(a+b+c)(ab+bc+ca)} \geq \sqrt[3]{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

 

$1. (a+b+c) \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

 

Bạn hien2000a có nói em mới đề ý chỗ đỏ ? Hình như theo BĐT anh nói thì ko đúng lắm ...