Chủ đề này có 1 trả lời

[lily evans]

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $5x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2xyz=60$ 

Tìm GTLN của biểu thức $P=x+y+z$

[manhbbltvp]

ta có $5x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2xyz=60\Rightarrow 5\left ( P-y-z \right )^2+4y^{2}+3z^{2}+2yz\left ( P-y-z \right )-60=0$

$\Rightarrow \left ( 9-2z \right )y^{2}-2\left ( P-z \right )\left ( 5-z \right )y+5(P-z)^{2}+3(z^{2}-20)=0$

$\Rightarrow \Delta ^{'}_{y}=\left ( P-5 \right )^{2}\left ( 5-z \right )^{2}-(9-2z)[5(P-z)^{2}+3(z^{2}-20)]\geq 0$

$\Leftrightarrow (z^{2}-20)[(P-z)^2-27+6z]\geq 0$

mà $5x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2xyz=60  và  x,y,z>0$

$\Rightarrow 3z^{2}<20\Rightarrow 3z^{2}-20<0\Rightarrow(P-2)^2-27+6z\leq 0$

$\Rightarrow (P-z)^2\leq 27-6z\Rightarrow P-z\leq \sqrt{27-6z}$

$\Rightarrow P\leq z+\sqrt{27-6z} \leq 6$

$\Rightarrow max P=6\Leftrightarrow x=1,y=2,z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhbbltvp: 27-04-2016 - 21:59
Latex