Chủ đề này có 2 trả lời

[dongthuyduong]

Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn$ x+y+z=3.$ Chứng minh rằng: $\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-04-2016 - 20:24

[PlanBbyFESN]

 

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn $x+y+z = 2016$

Chứng minh $\frac{a}{a+\sqrt{2016a + bc}} + \frac{b}{b+\sqrt{2016b + ca}} + \frac{c}{c+\sqrt{2016c + ab}} \leq 1$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: 

 

$\frac{a}{a+\sqrt{2016a + bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{(a+b+c)a + bc}} =\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(c+a)}} \leq \frac{a}{a+\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})^{2}}}=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

 

$\Rightarrow \frac{a}{a+\sqrt{2016a + bc}} + \frac{b}{b+\sqrt{2016b + ca}} + \frac{c}{c+\sqrt{2016c + ab}}\leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$

.................

 

 

 

P/S: Bài toán có thể tổng quát như sau:

 

Tổng quát: Với $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=k$ thì :

 

$\frac{a}{a+\sqrt{ka+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{kb+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{kc+ab}}\leq 1$

[githenhi512]

$cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=3. chứng minh rằng: \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\leq 1$

Tc: $\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$(x,z>0)

$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Tương tự tc đpcm

Dấu ''='' xr khi x=y=z=1