Chủ đề này có 4 trả lời

[tra81]

Tìm tất cả các hàm số $f:R \to R$ thỏa mãn điều kiện: $f\left( {x - {y^3}f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) - x{y^2}f\left( y \right);\forall x,y \in R$

[baopbc]

Tìm tất cả các hàm số $f:R \to R$ thỏa mãn điều kiện: $f\left( {x - {y^3}f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) - x{y^2}f\left( y \right);\forall x,y \in R$

Lời giải. Giả sử $f$ là hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Thay $y-0$ vào $(1)$ ta được: $f(x)=f(f(x))(2)$

Thay $y=1$ vào $(1)$ ta được: $f(x-f(x))=f(f(x))-xf(1)\Rightarrow f(x-f(x))=f(x)-xf(1)(3)$

Thay $x$ bởi $f(x)$ vào $(3)$, kết hợp với $(2)$ ta được: $f(0)=f(x)-f(x).f(1)=f(x)(1-f(1))(4)$

Thay $x=0$ vào $(4)$ ta được: $f(0)=f(0)(1-f(1))\Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(1)=0$

Xét các khả năng sau:

Khả năng $1: f(0)=0$. Thay $y=1,x$ bởi $f(x)$ vào $(1)$ ta được: $f(0)=f(x)-xf(1)\Rightarrow f(x)=x.f(1)(5)$

Thay $x$ bởi $f(x)$ vào $(5)$ ta được: $f(x)=f(x).f(1)\Rightarrow f(x)=0$ hoặc $f(1)=1\Rightarrow f(x)=0$ hoặc $f(x)=x$.(thử lại thỏa mãn)

Khả năng $2: f(1)=0$. Thay $x=1$ vào $(1)$ ta được: $y^2.f(y)=0\Rightarrow f(y)=0\forall y\neq 0$ 

Giả sử $f(0)=a\neq 0\Rightarrow f(0)=f(a)=0$ (Mâu thuẫn) $\Rightarrow f(0)=0$

$\Rightarrow f(x)=0\forall y\in \mathbb{R}$ (Thử lại thỏa mãn)

Kết luận: Có hai hàm thỏa mãn bài toán: $f(x)=0,f(x)=x$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 28-04-2016 - 17:53

[perfectstrong]

Khả năng $2: f(1)=0$. Thay $x=1$ vào $(1)$ ta được: $y^2.f(y)=0\Rightarrow f(y)=0$ (thử lại thỏa mãn).

Chỗ này chỉ suy ra $f(y)=0 \forall y \ne 0$ thôi. Phải tính thêm $f(0)$ riêng, tuy cũng dễ.

[superpower]

Lời giải. Giả sử $f$ là hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Thay $y-0$ vào $(1)$ ta được: $f(x)=f(f(x))(2)$

Thay $y=1$ vào $(1)$ ta được: $f(x-f(x))=f(f(x))-xf(1)\Rightarrow f(x-f(x))=f(x)-xf(1)(3)$

Thay $x$ bởi $f(x)$ vào $(3)$, kết hợp với $(2)$ ta được: $f(0)=f(x)-f(x).f(1)=f(x)(1-f(1))(4)$

Thay $x=0$ vào $(4)$ ta được: $f(0)=f(0)(1-f(1))\Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(1)=0$

Xét các khả năng sau:

Khả năng $1: f(0)=0$. Thay $y=1,x$ bởi $f(x)$ vào $(1)$ ta được: $f(0)=f(x)-xf(1)\Rightarrow f(x)=x.f(1)(5)$

Thay $x$ bởi $f(x)$ vào $(5)$ ta được: $f(x)=f(x).f(1)\Rightarrow f(x)=0$ hoặc $f(1)=1\Rightarrow f(x)=0$ hoặc $f(x)=x$.(thử lại thỏa mãn)

Khả năng $2: f(1)=0$. Thay $x=1$ vào $(1)$ ta được: $y^2.f(y)=0\Rightarrow f(y)=0\forall y\neq 0$ 

Giả sử $f(0)=a\neq 0\Rightarrow f(0)=f(a)=0$ (Mâu thuẫn) $\Rightarrow f(0)=0$

$\Rightarrow f(x)=0\forall y\in \mathbb{R}$ (Thử lại thỏa mãn)

Kết luận: Có hai hàm thỏa mãn bài toán: $f(x)=0,f(x)=x$.

$f(1)=1 $ nhé em, Từ đó trường hợp 2 bị sai

Chỗ trường hợp 1, em thay lộn rồi, phải là $f(0)=f(x) -f(x)f(1) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 11-05-2016 - 11:43

[superpower]

Tìm tất cả các hàm số $f:R \to R$ thỏa mãn điều kiện: $f\left( {x - {y^3}f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) - x{y^2}f\left( y \right);\forall x,y \in R$

Thay $y=0 => f(f(x))=f(x)$

Thay $x -> f(x) ; y=1 => f(0)=f(x)-f(x)f(1) = f(x) (1-f(1)) $

TH1: $f(1)$ khác $1$ thì $f(x) =a => f(x)=0 $

TH2: $f(1)=1 => f(0)=0 $

Giả sử $\exists a : f(a)=0 $

Khi đó thay $x=a;y=1 => f(a)=-a =0 => a=0 $

Mặt khác, thay $y = \sqrt[3]{\dfrac{x}{f(x)} -1} $, $x $ khác $0$ ta được

$-x.\sqrt[3]{\dfrac{x}{f(x)} -1}.f(\sqrt[3]{\dfrac{x}{f(x)} -1}) =0 $

Khi đó $f(x)=x , \forall x $ khác $0$

Mà mặt khác $f(0)=0 => f(x)=x , \forall x \in R $

Vậy có 2 hàm số thỏa mãn là $f(x)=0 $ và $f(x)=x $