Chủ đề này có 8 trả lời

[xuantungjinkaido]

Cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$.CMR: abc là lập phương của 1 số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuantungjinkaido: 28-04-2016 - 00:11

[Ngoc Hung]

Đặt $x^{3}=\frac{a}{b}$; $y^{3}=\frac{b}{c}$; $z^{3}=\frac{c}{a}$. Suy ra $xyz = 1$

Do đó $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=0\Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0$

Xét $x+y+z=0\Rightarrow abc=\left ( \frac{b(c-a)}{a-b} \right )^{3}$

Xét $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=0\Rightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c\Rightarrow abc=a^{3}$

[tpdtthltvp]

Đặt $x^{3}=\frac{a}{b}$; $y^{3}=\frac{b}{c}$; $z^{3}=\frac{c}{a}$. Suy ra $xyz = 1$

Do đó $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=0\Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0$

Xét $x+y+z=0\Rightarrow abc=\left ( \frac{b(c-a)}{a-b} \right )^{3}$

Xét $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=0\Rightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c\Rightarrow abc=a^{3}$

Vì sao $x+y+z=0$ thì $abc=\left ( \frac{b(c-a)}{a-b} \right )^{3}$ vậy ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-04-2016 - 07:34

[Ego]

Bài này là một bài mình rất thích. Nên đặt ở topic Olympic.
Dễ thấy rằng ta có thể giả sử $\gcd(a, b, c) = 1$ (khi đó khẳng định lẫn điều kiện bài toán đều hợp lí)
Xét $p$ là một ước nguyên tố của $a$, ta có $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = 3abc$. Nếu $p \nmid b; c$ thì thấy vô lí. Do đó $p\mid b$ hoặc $p\mid c$. Tuy nhiên chỉ xảy ra một trong hai TH do $\gcd(a, b, c) = 1$.

• TH1. $p\mid b$:
  Nếu $v_{p}(b) > 2v_{p}(a)$ thì $v_{p}(ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}) = \min \left(v_{p}(ab^{2}); v_{p}(bc^{2}); v_{p}(ca^{2})\right) = v_{p}(ca^{2}) = 2v_{p}(a)$. Mặt khác, $v_{p}(3abc) \ge v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) > 3v_{p}(a)$. Điều này vô lí.
  Nếu $v_{p}(b) < 2v_{p}(a)$ thì $v_{p}(ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}) = \min \left(v_{p}(ab^{2}); v_{p}(bc^{2}); v_{p}(ca^{2})\right) = v_{p}(bc^{2}) = v_{p}(b)$. Mặt khác, $v_{p}(3abc) \ge v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) > v_{p}(b)$. Vô lí.
  Nếu $v_{p}(b) = 2v_{p}(a)$ thì $v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) + v_{p}(c) = 3v_{p}(b)$ đúng với mọi $p$. Do đó số mũ của $p$ trong tích $abc$ là bội của $3$.
• TH2. $p\mid c$:
  Nếu $v_{p}(a) > 2v_{p}(c)$ thì $v_{p}(ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}) = \min \left(v_{p}(ab^{2}); v_{p}(bc^{2}); v_{p}(ca^{2})\right) = v_{p}(bc^{2}) = 2v_{p}(c)$. Mặt khác, $v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) + v_{p}(c) > 3v_{p}(c) > 2v_{p}(c)$. Vô lí.
  Nếu $v_{p}(a) < 2v_{p}(c)$ thì $v_{p}(ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}) = \min \left(v_{p}(ab^{2}); v_{p}(bc^{2}); v_{p}(ca^{2})\right) = v_{p}(ab^{2}) = v_{p}(a)$. Mặt khác, $v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) + v_{p}(c) > v_{p}(a)$. Vô lí.
  Nếu $v_{p}(a) = 2v_{p}(c)$ thì $v_{p}(abc) = 3v_{p}(c)$ hay số mũ của $p$ trong tích $abc$ là bội của $3$.

Trong tất cả trường hợp, ta có thể kết luận $abc$ là lũy thừa của $3$.
(y)

[I Love MC]

Bài này là một bài mình rất thích. Nên đặt ở topic Olympic.
Dễ thấy rằng ta có thể giả sử $\gcd(a, b, c) = 1$ (khi đó khẳng định lẫn điều kiện bài toán đều hợp lí)
Xét $p$ là một ước nguyên tố của $a$, ta có $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = 3abc$. Nếu $p \nmid b; c$ thì thấy vô lí. Do đó $p\mid b$ hoặc $p\mid c$. Tuy nhiên chỉ xảy ra một trong hai TH do $\gcd(a, b, c) = 1$.

• TH1. $p\mid b$:
  Nếu $v_{p}(b) > 2v_{p}(a)$ thì $v_{p}(ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}) = \min \left(v_{p}(ab^{2}); v_{p}(bc^{2}); v_{p}(ca^{2})\right) = v_{p}(ca^{2}) = 2v_{p}(a)$. Mặt khác, $v_{p}(3abc) \ge v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) > 3v_{p}(a)$. Điều này vô lí.
  Nếu $v_{p}(b) < 2v_{p}(a)$ thì $v_{p}(ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}) = \min \left(v_{p}(ab^{2}); v_{p}(bc^{2}); v_{p}(ca^{2})\right) = v_{p}(bc^{2}) = v_{p}(b)$. Mặt khác, $v_{p}(3abc) \ge v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) > v_{p}(b)$. Vô lí.
  Nếu $v_{p}(b) = 2v_{p}(a)$ thì $v_{p}(abc) = v_{p}(a) + v_{p}(b) + v_{p}(c) = 3v_{p}(b)$ đúng với mọi $p$. Do đó số mũ của $p$ trong tích $abc$ là bội của $3$.

Em nghĩ lời giải này không hợp với THCS cho lắm. Trong sách đại số của em có bài này nhưng nó chỉ giải bằng kiến thức trung học cơ sở. Không dùng đến số mũ đúng

[O0NgocDuy0O]

Em nghĩ lời giải này không hợp với THCS cho lắm. Trong sách đại số của em có bài này nhưng nó chỉ giải bằng kiến thức trung học cơ sở. Không dùng đến số mũ đúng

Bạn giải cụ thể ra giúp mình được không hoặc giải thích lời giải của Thầy NgocHung cũng được. Mình cảm ơn!!!

[the unknown]

Đặt $x^{3}=\frac{a}{b}$; $y^{3}=\frac{b}{c}$; $z^{3}=\frac{c}{a}$. Suy ra $xyz = 1$

Do đó $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=0\Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0$

Xét $x+y+z=0\Rightarrow abc=\left ( \frac{b(c-a)}{a-b} \right )^{3}$

Xét $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=0\Rightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c\Rightarrow abc=a^{3}$

Theo em thì từ $x+y+z=0.$ thì $x=-y-z$$\Rightarrow yz(y+z)=-1\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{b^2}{c^2}.\frac{c}{a}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c}.\frac{c^2}{a^2}}=-1\Rightarrow \frac{b}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{a}=-1$. Do đó đặt $\sqrt[3]{abc}=t$ thì $\frac{b}{t}+\frac{t}{a}=-1\Rightarrow t^2+at+ab=1$.

Tương tự được $t^2+bt+bc=0\Rightarrow (t^2+at+ab)-(t^2+bt+bc)=0\Leftrightarrow t(a-b)=b(c-a)\Rightarrow t=\frac{b(c-a)}{a-b}\Rightarrow abc=(\frac{b(c-a)}{a-b})^3$.

Em nghĩ để suy ra được thì làm như vậy, không biết có đúng ko.

[I Love MC]

Mở rộng : Cho $x,y,z$ nguyên thỏa mãn hệ thức $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=t$ với $t$ là một số nguyên. Chứng minh $xyz$ là lập phương của một số nguyên.

[minhrongcon2000]

Tham khảo tại đây nhé! 

http://diendantoanho...3-thì-abc-là-l/